Calcule o potencial associado às seguintes forças conservativas:
F=e^z sen(x) x-y-e^z cos (x) z

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra encontrar o potencial escalar vec F = -nabla V de um campo de força conservativa
.
Isso é coisa de cálculo vetorial: a gente sabe que se é conservativa existe uma função tal que
Pra resolver, vamos usar derivadas parciais e integrar passo a passo, conferindo consistência entre as componentes.

Passo 2

Escrevendo a relação componente a componente:
Fx = e^zsin(x) = -partial Vpartial x, Fy = -1 = -partial Vpartial y, Fz = -e^zcos(x) = -partial Vpartial z
Ou seja,
partial Vpartial x = -,e^zsin(x), partial Vpartial y = 1, partial Vpartial z = e^zcos(x)

Passo 3

Vamos integrar a primeira equação em V(x,y,z)=integral l(-e^zsin(x)r),dx = e^zcos(x) + C(y,z), :
onde é uma “constante” de integração que pode depender de e .

Passo 4

Agora uso a segunda equação, V = e^zcos(x) + C(y,z), . Como
partial Vpartial y = partial Cpartial y = 1 Longrightarrow C(y,z)=y + D(z),
temos
sendo outra função “constante” de integração, agora só de .

Passo 5

Por fim uso V = e^zcos(x) + y + D(z), . Com
partial Vpartial z = e^zcos(x) + D'(z) stackrel!= e^zcos(x) ;Longrightarrow; D'(z)=0 ;Longrightarrow; D(z)=constante
vem
Como a constante não importa no potencial, a gente pode escolher zero.

Resposta

Exercícios relacionados