Calcule o potencial e campo elétrico das seguintes distribuições de cargas:
Cilindro infinito homogêneo de raio R.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o potencial elétrico V(r) e o campo elétrico \mathbf{E}(r) de um cilindro infinito, homogêneo, de raio R.
Informações que vamos usar (o exercício não dá valores numéricos, então deixaremos em termos da densidade de carga):
  • A carga está distribuída de forma uniforme no volume do cilindro com densidade volumétrica \rho (carga por unidade de volume).
  • O cilindro é infinito no eixo z, então as grandezas dependem apenas da coordenada radial r (simetria cilíndrica).
  • Queremos \mathbf{E}(r) e V(r) para as duas regiões: \;0\le r < R (dentro do cilindro) e \;r\ge R (fora do cilindro).

Passo 2

Intuição e método a usar (sem cálculos ainda).
  • Pela simetria cilíndrica e infinita, o campo elétrico deve ser radial e só depende de r: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r}.
  • O método natural aqui é a Lei de Gauss, porque com simetria cilíndrica ela torna a conta muito simples: escolha uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L.
  • Depois de obter E(r), obtemos o potencial por integração: a relação é \;V(b)-V(a)=-\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}.
  • Observação importante sobre referência do potencial: para distribuições infinitas (como cilindro infinito) o potencial relativo a r\to\infty não é conveniente (o potencial diverge logaritmicamente), então vamos escolher a referência conveniente \;V(R)=0. Isso é uma escolha de constante aditiva; resultados físicos dependem de diferenças de potencial.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss — enunciado da lei e escolha da superfície.
  • A Lei de Gauss em forma integral é
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • Escolhemos a superfície gaussiana como um cilindro de raio r e comprimento L, coaxial ao cilindro carregado. A superfície tem três partes, mas só a superfície lateral contribui (as bases são perpendiculares a \mathbf{E} radial). A área lateral vale A_{\text{lat}}=2\pi r L.
  • O fluxo é então E(r)\cdot 2\pi r L.

Passo 4

Cálculo de E(r) para 0\le r < R (dentro do cilindro).
  • Primeiro calcular a carga encerrada pela superfície gaussiana: como a densidade é uniforme,
Q_{\text{enc}}=\rho \times (\text{volume dentro do raio }r)=\rho\cdot (\pi r^2 L).
  • Aplique Gauss:
E(r)\cdot 2\pi r L=\frac{\rho\pi r^2 L}{\varepsilon_0}.
  • Cancelando \pi L e resolvendo para E(r):
E(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}.
  • Direção: radial para fora se \rho>0. Em forma vetor:
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}\,\hat{r},\qquad 0\le r < R.

Passo 5

Cálculo de E(r) para r\ge R (fora do cilindro).
  • Agora a carga encerrada pela superfície gaussiana de raio r\ge R é a carga total do cilindro de raio R e comprimento L:
Q_{\text{enc}}=\rho\cdot (\pi R^2 L).
  • Pela lei de Gauss:
E(r)\cdot 2\pi r L=\frac{\rho\pi R^2 L}{\varepsilon_0}.
  • Cancelando \pi L e isolando E(r):
E(r)=\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r}.
  • Em forma vetor:
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}\,\frac{1}{r}\,\hat{r},\qquad r\ge R.
  • Observação alternativa: define a densidade linear \lambda (carga por unidade de comprimento) do cilindro inteiro como
\lambda=\rho\pi R^2.
Nesse caso, para r\ge R pode-se escrever
\mathbf{E}(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{r}\,\hat{r},
que é a mesma forma do campo de um fio infinito com densidade linear \lambda.

Passo 6

Estratégia para encontrar o potencial V(r).
  • Usamos a relação diferencial entre campo e potencial:
\mathbf{E}=-\nabla V.
  • Em coordenadas radiais, isso reduz a uma integração escalar porque \mathbf{E} é radial:
V(r)-V(r_{\text{ref}})=-\int_{r_{\text{ref}}}^{r} E(r')\,dr'.
  • Como explicado no Passo 2, escolhemos a referência V(R)=0. Assim:
V(r)=-\int_{R}^{r} E(r')\,dr'.
  • Faremos esse cálculo separadamente para r\ge R e para r<R.

Passo 7

Cálculo de V(r) para r\ge R (fora).
  • Para r'\ge R temos E(r')=\dfrac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}\dfrac{1}{r'}. Então
V(r)=-\int_{R}^{r}\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}\frac{1}{r'}\,dr'.
  • Essa integral é direta (logaritmo):
V(r)=-\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}\left[\ln r'\right]_{R}^{r} =-\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{R}\right).
  • Portanto, para r\ge R:
V(r)=-\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{R}\right).
  • Em termos de \lambda isso fica
V(r)=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{R}\right).

Passo 8

Cálculo de V(r) para 0\le r < R (dentro).
  • Para r'<R temos E(r')=\dfrac{\rho r'}{2\varepsilon_0}. Então
V(r)=-\int_{R}^{r}\frac{\rho r'}{2\varepsilon_0}\,dr'.
  • Calcule a integral (atenção aos sinais porque o limite superior é r que pode ser menor que R):
\int_{R}^{r} r'\,dr'=\frac{r^2-R^2}{2}.
  • Logo
V(r)=-\frac{\rho}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{r^2-R^2}{2}=-\frac{\rho}{4\varepsilon_0}(r^2-R^2).
  • Reescrevendo de forma bonita:
V(r)=\frac{\rho}{4\varepsilon_0}\left(R^2-r^2\right),\qquad 0\le r < R.
  • Em termos de \lambda fica
V(r)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\left(R^2-r^2\right).

Passo 9

Verificações e comentários físicos rápidos.
  • Continuidade do potencial em r=R: Pela forma encontrada, para r\to R^- temos V(R^-)=\dfrac{\rho}{4\varepsilon_0}(R^2-R^2)=0 e para r\to R^+ temos V(R^+)= -\dfrac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}\ln(1)=0. Logo V é contínuo em r=R (bom).
  • Derivada do potencial: -dV/dr reproduz E(r) nas duas regiões (verificação rápida da consistência).
  • Observação sobre referência: com a escolha V(R)=0 as expressões acima são finitas e convenientes. Se alguém quiser a forma com referência diferente, basta adicionar uma constante a todas as fórmulas. Não é possível definir V(\infty)=0 de forma conveniente porque V(r) cresce (logaritmicamente) sem limite quando r\to\infty com o sinal escolhido; por isso escolhemos V(R)=0.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(r)=\begin{cases} \displaystyle \dfrac{\rho\,r}{2\varepsilon_0}\,\hat{r}, & 0\le r < R,\\[6pt] \displaystyle \dfrac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}\dfrac{1}{r}\,\hat{r}, & r\ge R, \end{cases}
\displaystyle V(r)=\begin{cases} \displaystyle \dfrac{\rho}{4\varepsilon_0}\left(R^2-r^2\right), & 0\le r < R,\\[6pt] \displaystyle -\dfrac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{r}{R}\right), & r\ge R, \end{cases}
(Referência escolhida: V(R)=0.)]

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