Calcule o potencial e campo elétrico das seguintes distribuições de cargas:
Cilindro infinito homogêneo de raio R.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o potencial elétrico V(r) e o campo elétrico \mathbf{E}(r) de um cilindro infinito, homogêneo, de raio R.
Informações que vamos usar (o exercício não dá valores numéricos, então deixaremos em termos da densidade de carga):
A carga está distribuída de forma uniforme no volume do cilindro com densidade volumétrica \rho (carga por unidade de volume).
O cilindro é infinito no eixo z, então as grandezas dependem apenas da coordenada radial r (simetria cilíndrica).
Queremos \mathbf{E}(r) e V(r) para as duas regiões: \;0\le r < R (dentro do cilindro) e \;r\ge R (fora do cilindro).
Passo 2
Intuição e método a usar (sem cálculos ainda).
Pela simetria cilíndrica e infinita, o campo elétrico deve ser radial e só depende de r: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r}.
O método natural aqui é a Lei de Gauss, porque com simetria cilíndrica ela torna a conta muito simples: escolha uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L.
Depois de obter E(r), obtemos o potencial por integração: a relação é \;V(b)-V(a)=-\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}.
Observação importante sobre referência do potencial: para distribuições infinitas (como cilindro infinito) o potencial relativo a r\to\infty não é conveniente (o potencial diverge logaritmicamente), então vamos escolher a referência conveniente \;V(R)=0. Isso é uma escolha de constante aditiva; resultados físicos dependem de diferenças de potencial.
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss — enunciado da lei e escolha da superfície.
Escolhemos a superfície gaussiana como um cilindro de raio r e comprimento L, coaxial ao cilindro carregado. A superfície tem três partes, mas só a superfície lateral contribui (as bases são perpendiculares a \mathbf{E} radial). A área lateral vale A_{\text{lat}}=2\pi r L.
O fluxo é então E(r)\cdot 2\pi r L.
Passo 4
Cálculo de E(r) para 0\le r < R (dentro do cilindro).
Primeiro calcular a carga encerrada pela superfície gaussiana: como a densidade é uniforme,
Q_{\text{enc}}=\rho \times (\text{volume dentro do raio }r)=\rho\cdot (\pi r^2 L).
Aplique Gauss:
E(r)\cdot 2\pi r L=\frac{\rho\pi r^2 L}{\varepsilon_0}.
Cancelando \pi L e resolvendo para E(r):
E(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}.
Direção: radial para fora se \rho>0. Em forma vetor:
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}\,\hat{r},\qquad 0\le r < R.
Passo 5
Cálculo de E(r) para r\ge R (fora do cilindro).
Agora a carga encerrada pela superfície gaussiana de raio r\ge R é a carga total do cilindro de raio R e comprimento L:
Q_{\text{enc}}=\rho\cdot (\pi R^2 L).
Pela lei de Gauss:
E(r)\cdot 2\pi r L=\frac{\rho\pi R^2 L}{\varepsilon_0}.
Continuidade do potencial em r=R: Pela forma encontrada, para r\to R^- temos V(R^-)=\dfrac{\rho}{4\varepsilon_0}(R^2-R^2)=0 e para r\to R^+ temos V(R^+)= -\dfrac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}\ln(1)=0. Logo V é contínuo em r=R (bom).
Derivada do potencial: -dV/dr reproduz E(r) nas duas regiões (verificação rápida da consistência).
Observação sobre referência: com a escolha V(R)=0 as expressões acima são finitas e convenientes. Se alguém quiser a forma com referência diferente, basta adicionar uma constante a todas as fórmulas. Não é possível definir V(\infty)=0 de forma conveniente porque V(r) cresce (logaritmicamente) sem limite quando r\to\infty com o sinal escolhido; por isso escolhemos V(R)=0.