Descreva o movimento de uma partícula de massa
e carga
sob a ação de um campo elétrico constante
.
Passo 1
O enunciado pede: descrever o movimento de uma partícula com massa
e carga
sujeita a um campo elétrico constante
.
Informações dadas:
- Massa da partícula:
. - Carga da partícula:
. - Campo elétrico:
, constante (independe do tempo e da posição). - Não foram fornecidas condições iniciais numéricas; portanto usar nomes para elas:
- posição inicial:
(em ); - velocidade inicial:
(em ).
- posição inicial:
O que se espera obter:
- Equação da força e aceleração.
- Expressões para
e . - Interpretação física (trajetória, comportamento para cargas positivas/negativas, energia).
- Casos particulares relevantes.
Passo 2
Força elétrica sobre a partícula e aplicação da segunda lei de Newton.
Lei física usada: a força elétrica sobre uma carga puntiforme num campo elétrico uniforme é
Explicando:
é a força (vetor),
é a carga (escalar, pode ser negativa) e
é o campo elétrico (vetor). Se
é constante, então
também é constante (em direção e intensidade) enquanto
e
não mudarem.
Aplicando a segunda lei de Newton:
onde
é a aceleração e
a massa. Substituindo a força elétrica:
Passo 3
Encontrar a aceleração e interpretar.
Isolando
:
Explicando as variáveis:
é a aceleração vetorial;
é um escalar que indica quanto o campo elétrico acelera a partícula;
dá a direção da aceleração. Como
é constante,
é constante no tempo — isso é crucial: temos movimento com aceleração constante (movimento uniformemente acelerado, em sentido vetorial). Observações físicas:
- Se
, tem mesma direção de . - Se
, tem direção oposta a . - Se
então e a partícula se move com velocidade constante (movimento retilíneo uniforme).
Passo 4
Integração para obter a velocidade
.
Como
é constante, a relação entre aceleração e velocidade é
Integrando em
e aplicando a condição inicial
:
Interpretação prática: cada componente da velocidade cresce (ou decresce) linearmente no tempo com taxa
. É exatamente o que se vê num movimento uniformemente acelerado unidimensional, apenas estendido a vetores.
Passo 5
Integração para obter a posição
.
Relação entre velocidade e posição:
Integrando em
e aplicando
:
Interpretação geométrica: a partícula descreve uma trajetória cujo vetor posição é uma função quadrática do tempo — geometricamente, numa base em que
define um eixo, a componente ao longo de
é uma parábola em
, enquanto componentes perpendiculares a
têm termo quadrático nulo (só a parte de
aparece).
Passo 6
Análise em componentes; forma da trajetória.
Escolha um sistema de eixos com um eixo
paralelo a
e outros
perpendiculares. Escrevendo
e
, obtemos
Logo a posição:
Conclusão sobre a trajetória:
- Se
, a partícula move-se ao longo da mesma linha de com aceleração constante (movimento unidimensional retilíneo uniformemente acelerado). - Se
, o movimento é retilíneo ou curvo? A trajetória é um arco parabólico no plano determinado por e — em geral uma parábola quando projetada nesse plano. Em coordenadas cartesianas simples, isso dá um caminho parabólico (mesmo tipo de forma que um projétil tem na gravidade, mas aqui a “gravidade” é substituída por ).
Passo 7
Energia e potencial elétrico (ligação energética).
Trabalho da força elétrica entre
e
:
Pela conservação de energia mecânica (força conservativa), a variação da energia cinética é
Também podemos definir um potencial elétrico (escalar) para um campo uniforme:
de modo que
. Explicando: se a carga for positiva, deslocamento no sentido do campo reduz o potencial, aumentando a energia cinética; se negativa, o comportamento inverte.
Passo 8
Casos particulares e observações finais práticas.
- Caso
: nenhuma força elétrica, , movimento retilíneo uniforme: , . - Caso
: idem ao anterior. - Cargas positivas e negativas: sinal de
inverte a direção da aceleração. - Se quiser tempo para atingir certa velocidade
na direção de : usar e isolar . - Observação relativística: as fórmulas acima são clássicas (mecânica newtoniana). Se a partícula atingir velocidades comparáveis à velocidade da luz
, é preciso usar a dinâmica relativística (a aceleração não é constante na mesma forma; a relação entre força e aceleração envolve o fator de Lorentz). Para a maior parte dos problemas de graduação elementares estas correções não são necessárias, mas é bom ter em mente.
Força final de ânimo: dá pra desenrolar qualquer exercício com essas fórmulas — se tiver um enunciado com
,
,
,
e
, é só substituir nas expressões que já temos. Você consegue!