Descreva o movimento de uma partícula de massa m e carga q sob a ação de um campo elétrico constante \vec{E}.

Passo 1

O enunciado pede: descrever o movimento de uma partícula com massa m e carga q sujeita a um campo elétrico constante \vec{E}.
Informações dadas:
  • Massa da partícula: m.
  • Carga da partícula: q.
  • Campo elétrico: \vec{E}, constante (independe do tempo e da posição).
  • Não foram fornecidas condições iniciais numéricas; portanto usar nomes para elas:
    • posição inicial: \vec{r}_0 (em t=0);
    • velocidade inicial: \vec{v}_0 (em t=0).
O que se espera obter:
  • Equação da força e aceleração.
  • Expressões para \vec{v}(t) e \vec{r}(t).
  • Interpretação física (trajetória, comportamento para cargas positivas/negativas, energia).
  • Casos particulares relevantes.

Passo 2

Força elétrica sobre a partícula e aplicação da segunda lei de Newton.
Lei física usada: a força elétrica sobre uma carga puntiforme num campo elétrico uniforme é
\vec{F} = q\,\vec{E}.
Explicando: \vec{F} é a força (vetor), q é a carga (escalar, pode ser negativa) e \vec{E} é o campo elétrico (vetor). Se \vec{E} é constante, então \vec{F} também é constante (em direção e intensidade) enquanto q e \vec{E} não mudarem.
Aplicando a segunda lei de Newton:
\vec{F} = m\,\vec{a},
onde \vec{a} é a aceleração e m a massa. Substituindo a força elétrica:
m\,\vec{a} = q\,\vec{E}.

Passo 3

Encontrar a aceleração e interpretar.
Isolando \vec{a}:
\vec{a} = \frac{q}{m}\,\vec{E}.
Explicando as variáveis: \vec{a} é a aceleração vetorial; \dfrac{q}{m} é um escalar que indica quanto o campo elétrico acelera a partícula; \vec{E} dá a direção da aceleração. Como \vec{E} é constante, \vec{a} é constante no tempo — isso é crucial: temos movimento com aceleração constante (movimento uniformemente acelerado, em sentido vetorial). Observações físicas:
  • Se q>0, \vec{a} tem mesma direção de \vec{E}.
  • Se q<0, \vec{a} tem direção oposta a \vec{E}.
  • Se q=0 então \vec{a}=\vec{0} e a partícula se move com velocidade constante (movimento retilíneo uniforme).

Passo 4

Integração para obter a velocidade \vec{v}(t).
Como \vec{a} é constante, a relação entre aceleração e velocidade é
\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a}=\frac{q}{m}\,\vec{E}.
Integrando em t e aplicando a condição inicial \vec{v}(0)=\vec{v}_0:
\vec{v}(t)=\vec{v}_0+\frac{q}{m}\,\vec{E}\,t.
Interpretação prática: cada componente da velocidade cresce (ou decresce) linearmente no tempo com taxa \dfrac{q}{m}E_{\text{componente}}. É exatamente o que se vê num movimento uniformemente acelerado unidimensional, apenas estendido a vetores.

Passo 5

Integração para obter a posição \vec{r}(t).
Relação entre velocidade e posição:
\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}(t)=\vec{v}_0+\frac{q}{m}\,\vec{E}\,t.
Integrando em t e aplicando \vec{r}(0)=\vec{r}_0:
\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0\,t+\frac{1}{2}\,\frac{q}{m}\,\vec{E}\,t^2.
Interpretação geométrica: a partícula descreve uma trajetória cujo vetor posição é uma função quadrática do tempo — geometricamente, numa base em que \vec{E} define um eixo, a componente ao longo de \vec{E} é uma parábola em t, enquanto componentes perpendiculares a \vec{E} têm termo quadrático nulo (só a parte de \vec{v}_0 aparece).

Passo 6

Análise em componentes; forma da trajetória.
Escolha um sistema de eixos com um eixo \hat{e}_\parallel paralelo a \vec{E} e outros \hat{e}_\perp perpendiculares. Escrevendo
\vec{v}_0 = v_{0\parallel}\,\hat{e}_\parallel + \vec{v}_{0\perp},\qquad \vec{r}_0 = r_{0\parallel}\,\hat{e}_\parallel + \vec{r}_{0\perp},
e \vec{E}=E\,\hat{e}_\parallel, obtemos
\text{Componente paralela:}\quad v_\parallel(t)=v_{0\parallel}+\frac{q}{m}E\,t,
\text{Componente perpendicular:}\quad \vec{v}_\perp(t)=\vec{v}_{0\perp}\\ \\ (\text{constante}).
Logo a posição:
r_\parallel(t)=r_{0\parallel}+v_{0\parallel}t+\frac{1}{2}\frac{q}{m}E\,t^2,
\vec{r}_\perp(t)=\vec{r}_{0\perp}+\vec{v}_{0\perp}t.
Conclusão sobre a trajetória:
  • Se \vec{v}_{0\perp}=\vec{0}, a partícula move-se ao longo da mesma linha de \vec{E} com aceleração constante (movimento unidimensional retilíneo uniformemente acelerado).
  • Se \vec{v}_{0\perp}\neq\vec{0}, o movimento é retilíneo ou curvo? A trajetória é um arco parabólico no plano determinado por \vec{E} e \vec{v}_0 — em geral uma parábola quando projetada nesse plano. Em coordenadas cartesianas simples, isso dá um caminho parabólico (mesmo tipo de forma que um projétil tem na gravidade, mas aqui a “gravidade” é substituída por \dfrac{q}{m}\vec{E}).

Passo 7

Energia e potencial elétrico (ligação energética).
Trabalho da força elétrica entre \vec{r}_0 e \vec{r}:
W = \int_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} \vec{F}\cdot d\vec{r}' = \int_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} q\,\vec{E}\cdot d\vec{r}' = q\,\vec{E}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0).
Pela conservação de energia mecânica (força conservativa), a variação da energia cinética é
\Delta K = K(t)-K(0) = W = q\,\vec{E}\cdot(\vec{r}(t)-\vec{r}_0).
Também podemos definir um potencial elétrico (escalar) para um campo uniforme:
U(\vec{r}) = -q\,\vec{E}\cdot\vec{r} + \text{constante},
de modo que W = -(U(\vec{r})-U(\vec{r}_0)). Explicando: se a carga for positiva, deslocamento no sentido do campo reduz o potencial, aumentando a energia cinética; se negativa, o comportamento inverte.

Passo 8

Casos particulares e observações finais práticas.
  • Caso q=0: nenhuma força elétrica, \vec{a}=\vec{0}, movimento retilíneo uniforme: \vec{v}(t)=\vec{v}_0, \vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0 t.
  • Caso \vec{E}=\vec{0}: idem ao anterior.
  • Cargas positivas e negativas: sinal de q inverte a direção da aceleração.
  • Se quiser tempo para atingir certa velocidade v_f na direção de \vec{E}: usar v_f = v_{0\parallel} + \dfrac{q}{m}E t e isolar t.
  • Observação relativística: as fórmulas acima são clássicas (mecânica newtoniana). Se a partícula atingir velocidades comparáveis à velocidade da luz c, é preciso usar a dinâmica relativística (a aceleração não é constante na mesma forma; a relação entre força e aceleração envolve o fator de Lorentz). Para a maior parte dos problemas de graduação elementares estas correções não são necessárias, mas é bom ter em mente.
Força final de ânimo: dá pra desenrolar qualquer exercício com essas fórmulas — se tiver um enunciado com m, q, \vec{E}, \vec{v}_0 e \vec{r}_0, é só substituir nas expressões que já temos. Você consegue!

Resposta

\vec{a}=\dfrac{q}{m}\,\vec{E}\newline
\displaystyle \vec{v}(t)=\vec{v}_0+\dfrac{q}{m}\,\vec{E}\,t\newline
\displaystyle \vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0\,t+\dfrac{1}{2}\,\dfrac{q}{m}\,\vec{E}\,t^2

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