Os raios atômicos dos íons \mathbf{N a}^{+}(sódio) e \mathbf{C l}^{-}(cloro) são de 0,102 \mathrm{~nm} e 0,181 \mathrm{~nm}, respectivamente. Calcule as forças de atração e de repulsão entre eles na separação interiônica de equilíbrio. (2 pnts)

Passo 1

O enunciado dá os raios iônicos e pede as forças de atração e de repulsão entre \mathrm{Na}^+ e \mathrm{Cl}^- na separação interiônica de equilíbrio. Informações fornecidas:
  • Raio do íon \mathrm{Na}^+: r_{\mathrm{Na}^+}=0,102\\ \text{nm}.
  • Raio do íon \mathrm{Cl}^-: r_{\mathrm{Cl}^-}=0,181\\ \text{nm}.
O que se pede:
  • Calcular a força de atração entre os íons nessa separação.
  • Calcular a força de repulsão entre os íons nessa separação.
Observação: vou usar a aproximação de que a separação interiônica de equilíbrio é a soma dos raios iônicos (distância entre os centros dos íons). Também usarei a lei de Coulomb para a força elétrica entre cargas pontuais e o fato físico de que, no equilíbrio, a força repulsiva de curto alcance tem a mesma magnitude da força atrativa elétrica (mas oposta).

Passo 2

Determinar a separação entre centros dos íons a partir dos raios dados.
A soma dos raios (peguei esses números do enunciado) é
r = r_{\mathrm{Na}^+} + r_{\mathrm{Cl}^-} = 0,102\\ \text{nm} + 0,181\\ \text{nm} = 0,283\\ \text{nm}.
Converter para metros:
r = 0,283\times10^{-9}\\ \text{m} = 2,83\times10^{-10}\\ \text{m}.

Passo 3

Relembrando a lei de Coulomb (explicação didática):
  • A força elétrica entre duas cargas pontuais q_1 e q_2 separadas por distância r tem módulo dado por
F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde:
  • F é o módulo da força (em newtons, N),
  • k é a constante eletrostática do vácuo, k=8,9875517923\times10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2\!/\text{C}^2,
  • q_1 e q_2 são as cargas (em coulombs, C),
  • r é a distância entre os centros (em metros, m).
No nosso caso, \mathrm{Na}^+ tem carga q_1=+e e \mathrm{Cl}^- tem q_2=-e, com e sendo a carga elementar:
e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \text{C}.
Como interessa o módulo da força, usamos |q_1 q_2| = e^2.

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo.
Calcular e^2:
e^2 = (1,602176634\times10^{-19})^2 = 2,566969\times10^{-38}\\ \text{C}^2\\ (\text{aprox.}).
Calcular r^2:
r^2 = (2,83\times10^{-10})^2 = 8,0089\times10^{-20}\\ \text{m}^2.
Agora aplicar a lei de Coulomb para o módulo da força atrativa:
F_{\text{atr}} = k\frac{e^2}{r^2}.
Substituindo os valores:
F_{\text{atr}} = (8,9875517923\times10^{9})\frac{2,566969\times10^{-38}}{8,0089\times10^{-20}}.
Fazendo a conta (mostrando resultado arredondado):
F_{\text{atr}} \approx 2,88\times10^{-9}\\ \text{N}.
Interpretação: esse valor é o módulo da força elétrica de atração entre \mathrm{Na}^+ e \mathrm{Cl}^- à distância r. A direção é de atração (os íons são de sinais opostos, portanto se atraem).

Passo 5

Sobre a força de repulsão:
  • Em sólidos iônicos e pares iônicos, existe uma força repulsiva de curto alcance (devida à sobreposição de nuvens eletrônicas), que não é dada pela lei de Coulomb simples. Modelos típicos usam termos exponenciais (p. ex. potencial de Born) ou potências altas (p. ex. termo r^{-12} em Lennard-Jones).
  • No ponto de separação de equilíbrio essa força repulsiva tem a mesma magnitude que a força atrativa elétrica mas com sentido oposto (porque no equilíbrio a soma das forças é zero).
Portanto, o módulo da força repulsiva na separação de equilíbrio é numericamente igual ao módulo da força de atração calculada:
F_{\text{rep}} = 2,88\times10^{-9}\\ \text{N},
com direção de repulsão (empurrando os íons para longe um do outro).

Resposta

Força de atração: 2,88\times10^{-9}\\ \text{N} (direção: atração entre \mathrm{Na}^+ e \mathrm{Cl}^-).
Força de repulsão: 2,88\times10^{-9}\\ \text{N} (direção: repulsão, sentido oposto à atração).

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