Calcule o potencial elétrico de uma carga pontual +q a uma distância r da carga? Qual é a fórmula associada ao potencial gerado por uma carga pontual?

Passo 1

Então, o pedido é: “Calcular o potencial elétrico de uma carga pontual +q a uma distância r e escrever a fórmula associada.” Isso cai em eletrostática, mais exatamente no conceito de potencial elétrico gerado por cargas. Para resolver, a gente vai precisar:
  • Da definição de potencial elétrico como trabalho por carga.
  • Da expressão do campo elétrico de uma carga pontual (Lei de Coulomb).
  • Saber que a gente toma o potencial zero no infinito.

Passo 2

Antes de tudo, vamos lembrar o que é potencial elétrico (V):
V§ = trabalho feito pela força elétrica para levar uma carga‐teste unitária desde o infinito até o ponto P.
Em fórmula, se a gente for do infinito (onde V = 0) até r:
V(r) ;=; -integralinfty^r vec Ecdot dvec ell
O sinal “–” aparece porque a gente mede o trabalho da força elétrica sobre a carga, e não o contrário.

Passo 3

Agora, qual é o campo elétrico criado por uma carga pontual +q a uma distância r? Pela Lei de Coulomb:
vec E(r) ;=; dfrac14pivarepsilon0,dfracqr^2;hat r
onde varepsilon0 é a permissividade do vácuo e hat r indica a direção radial (afastando‐se da carga).

Passo 4

Substituindo vec E na integral de potencial, e lembrando que vec E e dvec ell estão na mesma direção radial:
$$V® ;=; -\int_{\infty}^{r} E(r’),dr’
;=; -\int_{\infty}^{r} \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0},\dfrac{q}{r’^2},dr’,. V(r) ;=; -integralinfty^r E(r'),dr' ;=; -integralinfty^r dfrac14pivarepsilon0,dfracqr'^2,dr', -\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\infty}^{r} \dfrac{1}{r’^2},dr’
= -\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[-\dfrac{1}{r’}\Bigr]_{\infty}^{r}
= \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0},\dfrac{1}{r},. $$

Resposta

boxedV(r) ;=; dfrac14pivarepsilon0,dfracqr

Exercícios relacionados