Calcule o potencial elétrico de um disco uniformemente carregado de raio a e densidade superficial de carga sigma

Passo 1

O enunciado pede para calcular o potencial elétrico V de um disco de raio a com densidade superficial de carga sigma, num ponto P sobre o eixo de simetria do disco, a uma distância z do seu centro. Vamos usar a superposição de anéis carregados, pois um disco pode ser visto como uma sucessão de anéis de raios variando de 0 a a.

Passo 2

Considere um anel de raio r e espessura dr. A carga dessa coroa é
dQ = sigma cdot (área do anel) = sigma cdot (2pi r,dr) á
O potencial gerado por essa coroa, a uma distância z ao longo do eixo, vale
dV = 14pivarepsilon0;dQraizr^2+z^2 = 14pivarepsilon0;sigma,2pi r,drraizr^2+z^2

Passo 3

Somando (integrando) a contribuição de todos os anéis de r=0 até r=a, obtemos
V(z) = integral0^a dV = sigma2varepsilon0;integral0^a r,drraizr^2+z^2
Para resolver o integral, note que
integral r,drraizr^2+z^2 = raizr^2+z^2 + C

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a a, temos
integral0^a r,drraizr^2+z^2 = l[raizr^2+z^2r]0^a = raiza^2+z^2 ;-; raiz0^2+z^2 = raiza^2+z^2 - z
Logo, o potencial no ponto P é
V(z) = sigma2varepsilon0l(raiza^2+z^2 - zr)

Resposta

V(z) = sigma2varepsilon0l(raiza^2+z^2 - zr)
Esse resultado vale tomando V(infty)=0.

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