(a) Calcule o potencial elétrico gerado por um dipolo elétrico, constituído de uma carga
localizado no ponto
e outra carga
localizado no ponto
, num ponto gerado do plano xy. (b) Encontre uma expressão para o ponto P distante do dipolo, ou seja, para os quais
(a distância do ponto P ao centro do dipolo) seja muito maior que a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potencial elétrico de um dipolo elétrico. O enunciado pede para calcular o potencial gerado por um dipolo composto por duas cargas opostas,
e
, localizadas respectivamente nos pontos
e
no plano xy. Além disso, precisamos encontrar uma expressão para o potencial em um ponto P distante do dipolo, onde a distância
até P é muito maior que a distância entre as cargas (
). Para isso, vamos usar os conceitos de potencial elétrico produzido por cargas pontuais e a aproximação de dipolo para distâncias grandes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico (
) criado por uma carga pontual é dado pela fórmula:
onde:
-
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga, -
é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Como temos um dipolo formado por duas cargas, vamos calcular o potencial devido a cada carga separadamente e depois somá-los.
Passo 3
Vamos definir o ponto P no plano xy onde queremos calcular o potencial. Suponha que P tenha coordenadas
. A distância de P à carga
localizada em
é:
E a distância de P à carga
localizada em
é:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do potencial para cada carga e somamos:
Essa é a expressão do potencial elétrico gerado pelo dipolo no ponto P no plano xy.
Passo 5
Agora, para a parte (b), queremos uma expressão para o potencial no ponto P quando ele está distante do dipolo, ou seja,
. Nessa condição, podemos usar a aproximação de dipolo, que simplifica a expressão do potencial.
Sabemos que para um dipolo, o momento dipolar
é dado por:
onde
é o vetor que vai de
para
. No nosso caso,
, então:
O potencial de um dipolo em um ponto distante é dado por:
onde
é o vetor unitário na direção de P.
Passo 6
Substituindo
na expressão do potencial:
onde
é o ângulo entre o eixo do dipolo (eixo x) e a linha que liga o centro do dipolo ao ponto P.
Resposta
A expressão do potencial elétrico gerado pelo dipolo elétrico no ponto P distante, onde
, é: