(a) Calcule o potencial elétrico gerado por um dipolo elétrico, constituído de uma carga -q localizado no ponto x=-a2 e outra carga +q localizado no ponto x=a2, num ponto gerado do plano xy. (b) Encontre uma expressão para o ponto P distante do dipolo, ou seja, para os quais r (a distância do ponto P ao centro do dipolo) seja muito maior que a (r gg a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potencial elétrico de um dipolo elétrico. O enunciado pede para calcular o potencial gerado por um dipolo composto por duas cargas opostas, -q e +q, localizadas respectivamente nos pontos x = -a2 e x = a2 no plano xy. Além disso, precisamos encontrar uma expressão para o potencial em um ponto P distante do dipolo, onde a distância r até P é muito maior que a distância entre as cargas ( r gg a). Para isso, vamos usar os conceitos de potencial elétrico produzido por cargas pontuais e a aproximação de dipolo para distâncias grandes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico ( V) criado por uma carga pontual é dado pela fórmula:
V = k cdot qr
onde:
  • k é a constante eletrostática ( k = 14piepsilon0),
  • q é a carga,
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Como temos um dipolo formado por duas cargas, vamos calcular o potencial devido a cada carga separadamente e depois somá-los.

Passo 3

Vamos definir o ponto P no plano xy onde queremos calcular o potencial. Suponha que P tenha coordenadas (x, y). A distância de P à carga +q localizada em x = a2 é:
r+ = raiz(x - a2)^2 + y^2
E a distância de P à carga -q localizada em x = -a2 é:
r- = raiz(x + a2)^2 + y^2

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do potencial para cada carga e somamos:
V = V+ + V- = k cdot (+q)r+ + k cdot (-q)r- = kq(1r+ - 1r-)
Essa é a expressão do potencial elétrico gerado pelo dipolo no ponto P no plano xy.

Passo 5

Agora, para a parte (b), queremos uma expressão para o potencial no ponto P quando ele está distante do dipolo, ou seja, r gg a. Nessa condição, podemos usar a aproximação de dipolo, que simplifica a expressão do potencial.
Sabemos que para um dipolo, o momento dipolar p é dado por:
p = q cdot d
onde d é o vetor que vai de -q para +q. No nosso caso, d = a i, então:
p = q cdot a i
O potencial de um dipolo em um ponto distante é dado por:
V = k cdot p cdot rr^2
onde r é o vetor unitário na direção de P.

Passo 6

Substituindo p na expressão do potencial:
V = k cdot q cdot a cdot costhetar^2
onde theta é o ângulo entre o eixo do dipolo (eixo x) e a linha que liga o centro do dipolo ao ponto P.

Resposta

A expressão do potencial elétrico gerado pelo dipolo elétrico no ponto P distante, onde r gg a, é:
V = k cdot q cdot a cdot costhetar^2

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