Considere um anel de raio
no plano
.
anel possui carga
uniformemente distribuída. (a) Calcule o potencial elétrico num ponto
no eixo do anel a uma distância
da origem. (b) Obtenha o campo elétrico no eixo
. © Obtenha o potencial a partir do campo elétrico pela expressão:
Passo 1
Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um anel com raio $ R $ no plano $ xy $ que possui uma carga total $ Q $ distribuída de forma uniforme. O que precisamos fazer é:
a) Calcular o potencial elétrico em um ponto $ P $ que está no eixo do anel, a uma distância $ Z $ da origem.
b) Encontrar o campo elétrico nesse mesmo ponto no eixo $ Z $.
c) Obter o potencial a partir do campo elétrico usando a expressão fornecida.
Para resolver esses itens, vamos precisar entender conceitos de potencial elétrico devido a uma distribuição de carga e como relacionar o campo elétrico com o potencial.
Passo 2
Vamos começar com o item (a): calcular o potencial elétrico no ponto $ P $.
O potencial elétrico $ V $ devido a uma carga pontual é dado por:
onde $ k $ é a constante eletrostática, $ Q $ é a carga e $ r $ é a distância até o ponto onde queremos calcular o potencial.
Mas como temos um anel de carga, precisamos integrar esse potencial ao longo de todo o anel.
Passo 3
Considerando que a carga $ Q $ está distribuída uniformemente ao longo do anel, podemos dizer que a densidade linear de carga $ \lambda $ é:
Para um pequeno elemento de carga $ dQ $ no anel:
onde $ d\ell = R d\theta $ é um pequeno segmento do anel.
Passo 4
A distância do elemento de carga até o ponto $ P $ no eixo $ Z $ é:
Note que essa distância é a mesma para todo ponto no anel em relação a $ P $, devido à simetria do problema.
Passo 5
Agora, o potencial total $ V $ no ponto $ P $ é a soma (integração) dos potenciais devido a cada elemento $ dQ $:
Passo 6
Passando para o item (b): encontrar o campo elétrico no ponto $ P $.
O campo elétrico é o gradiente do potencial, mas como estamos no eixo, podemos calcular diretamente a componente na direção $ Z $.
Sabemos que:
Vamos derivar o potencial que encontramos em relação a $ Z $.
Passo 7
Derivando $ V $ em relação a $ Z $:
Passo 8
Por fim, o item ©: obter o potencial a partir do campo elétrico usando a expressão fornecida.
A expressão que relaciona o potencial e o campo elétrico é:
Vamos usar o campo elétrico que encontramos para integrar e obter o potencial.
Passo 9
Como estamos no eixo $ Z $, a integral fica:
Considerando que $ V(ref) $ tende a zero quando $ ref $ vai ao infinito, a integral resulta no potencial que já calculamos no item (a).
Resposta
A) O potencial elétrico no ponto $ P $ é:
B) O campo elétrico no eixo $ Z $ é:
C) O potencial obtido a partir do campo elétrico coincide com o potencial calculado: