Calcule o potencial gravitacional e o campo gravitacional de um hemisfério de raio
e massa
a uma altura
ao longo do eixo de simetria que passa pelo centro do hemisfério.
Passo 1
O enunciado pede o potencial gravitacional
e o campo gravitacional
ao longo do eixo de simetria de um hemisfério de raio
e massa total
, a uma distância
do centro do hemisfério.
Conteúdo: vamos tratar o hemisfério como uma casca esférica de densidade superficial uniforme , aplicar superposição usando
Conteúdo: vamos tratar o hemisfério como uma casca esférica de densidade superficial uniforme
e integrar sobre todos os anéis elementares que formam o hemisfério.
Passo 2
Expressão para o potencial ao longo do eixo: seja
a densidade superficial e, em coordenadas esféricas, um elemento de área
e a distância do elemento até o ponto sobre o eixo é
Como não depende de
, fazemos primeiro a integral em
e obtemos
Para resolver a integral em
, usamos a substituição
com
e
. Então
Como estamos supondo
, vale
, e substituindo
resulta
Passo 3
Para encontrar o campo gravitacional no eixo, basta derivar
:
Fatorando
em cima e embaixo:
O vetor campo aponta no sentido negativo de
: