Calcule o potencial gravitacional e o campo gravitacional de um hemisfério de raio R e massa M a uma altura z ao longo do eixo de simetria que passa pelo centro do hemisfério.

Passo 1

O enunciado pede o potencial gravitacional V(z) e o campo gravitacional \mathbf g(z) ao longo do eixo de simetria de um hemisfério de raio R e massa total M, a uma distância z do centro do hemisfério.
Conteúdo: vamos tratar o hemisfério como uma casca esférica de densidade superficial uniforme \sigma, aplicar superposição usando
dV = -G\,\frac{dM}{r}, \qquad \mathbf g = -\nabla V,
e integrar sobre todos os anéis elementares que formam o hemisfério.

Passo 2

Expressão para o potencial ao longo do eixo: seja \sigma = \dfrac{M}{2\pi R^2} a densidade superficial e, em coordenadas esféricas, um elemento de área
dA = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi,
e a distância do elemento até o ponto sobre o eixo é
r = \sqrt{R^2 + z^2 - 2Rz\cos\theta}.
Como não depende de \varphi, fazemos primeiro a integral em \varphi e obtemos
V(z) = -G\int \frac{dM}{r} = -G\sigma \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi/2} \frac{R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi}{\sqrt{R^2+z^2-2Rz\cos\theta}} = -2\pi G\sigma R^2\int_{0}^{\pi/2}\!\frac{\sin\theta\,d\theta}{\sqrt{R^2+z^2-2Rz\cos\theta}}.
Para resolver a integral em \theta, usamos a substituição
u = R^2+z^2-2Rz\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad du = 2Rz\,\sin\theta\,d\theta,
com \theta=0\mapsto u=(R-z)^2 e \theta=\pi/2\mapsto u=R^2+z^2. Então
V(z) = -2\pi G\sigma R^2\, \int_{(R-z)^2}^{R^2+z^2} \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{2Rz} = -\pi G\sigma\frac{R}{z}\bigl[2\sqrt{u}\bigr]_{(R-z)^2}^{R^2+z^2} = -2\pi G\sigma R\bigl(\sqrt{R^2+z^2}-|R-z|\bigr).
Como estamos supondo z\ge0, vale |R-z|=R-z, e substituindo \sigma resulta
V(z) = -\frac{GM}{R}\,\bigl(\sqrt{R^2+z^2}-z\bigr).

Passo 3

Para encontrar o campo gravitacional no eixo, basta derivar V(z):
g_z(z) = -\frac{dV}{dz} = -\frac{d}{dz}\!\Bigl[-\frac{GM}{R}(\sqrt{R^2+z^2}-z)\Bigr] = \frac{GM}{R}\Bigl(\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}-1\Bigr).
Fatorando \tfrac{1}{R} em cima e embaixo:
g_z(z) = -\frac{GM}{R^2}\Bigl(1 - \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\Bigr).
O vetor campo aponta no sentido negativo de z:
\mathbf g(z) = g_z(z)\,\hat{\mathbf z} = -\frac{GM}{R^2}\Bigl(1 - \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\Bigr)\,\hat{\mathbf z}.

Resposta

\displaystyle V(z) = -\frac{GM}{R}\bigl(\sqrt{R^2+z^2}-z\bigr),
\displaystyle \mathbf g(z) = -\frac{GM}{R^2}\Bigl(1 - \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\Bigr)\,\hat{\mathbf z}.

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