As curvas de rotação de galáxias descrevem a velocidade orbital das estrelas visíveis em função da sua distância ao centro da galáxia. Observações mostram que a matéria visível não é suficiente para explicar o comportamento dessas curvas, o que constitui uma das principais evidências da existência de matéria escura. Considere o modelo de Plummer para a densidade de massa de uma galáxia esfericamente simétrica na presença de matéria escura:
\rho(r)=\frac{3 M b^{2}}{4 \pi} \cdot \frac{1}{\left(r^{2}+b^{2}\right)^{5 / 2}},
onde M é a massa total da galáxia e b é um parâmetro com dimensões de comprimento. Utilize a equação de Poisson para determinar o potencial gravitacional \Phi(r) gerado por essa distribuição de massa, em função da distância r até o centro da galáxia.

Passo 1

O enunciado pede determinar o potencial gravitacional \Phi(r) gerado pela distribuição de massa de Plummer
\rho(r)=\frac{3 M b^{2}}{4 \pi}\,\frac{1}{\bigl(r^{2}+b^{2}\bigr)^{5/2}}
usando a equação de Poisson. O conteúdo aqui envolve simetria esférica e a equação
\nabla^{2}\Phi=4\pi G\,\rho.

Passo 2

Em simetria esférica, a equação de Poisson
\nabla^{2}\Phi=4\pi G\,\rho(r) reduz-se a
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^{2}\frac{d\Phi}{dr}\Bigr)=4\pi G\,\rho(r).
Introduzimos a massa acumulada
M(r)=\int_{0}^{r}4\pi s^{2}\,\rho(s)\,ds,
que pelo teorema de Gauss satisfaz
\frac{d\Phi}{dr}=\frac{G\,M(r)}{r^{2}}.

Passo 3

Calculamos M(r) para a densidade de Plummer:
M(r) =\int_{0}^{r}4\pi s^{2}\,\frac{3 M b^{2}}{4\pi}\,\frac{1}{(s^{2}+b^{2})^{5/2}}\,ds =3M b^{2}\int_{0}^{r}\frac{s^{2}}{(s^{2}+b^{2})^{5/2}}\,ds.
Escrevendo s^{2}=(s^{2}+b^{2})-b^{2} e integrando, obtém-se o resultado clássico:
M(r)=M\,\frac{r^{3}}{(r^{2}+b^{2})^{3/2}}.

Passo 4

Com M(r) em mãos,
\frac{d\Phi}{dr} =\frac{G\,M(r)}{r^{2}} =G\,M\,\frac{r}{(r^{2}+b^{2})^{3/2}}.
Integramos em r impondo \Phi(\infty)=0:
\Phi(r) =-G\,M\int_{r}^{\infty}\frac{r'}{(r'^{2}+b^{2})^{3/2}}\,dr' =-\frac{G\,M}{\sqrt{r^{2}+b^{2}}}.

Resposta

\Phi(r)=-\frac{G\,M}{\sqrt{r^{2}+b^{2}}}.

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