As curvas de rotação de galáxias descrevem a velocidade orbital das estrelas visíveis em função da sua distância ao centro da galáxia. Observações mostram que a matéria visível não é suficiente para explicar o comportamento dessas curvas, o que constitui uma das principais evidências da existência de matéria escura. Considere o modelo de Plummer para a densidade de massa de uma galáxia esfericamente simétrica na presença de matéria escura:
onde
é a massa total da galáxia e
é um parâmetro com dimensões de comprimento. Utilize a equação de Poisson para determinar o potencial gravitacional
gerado por essa distribuição de massa, em função da distância
até o centro da galáxia.
Passo 1
O enunciado pede determinar o potencial gravitacional
gerado pela distribuição de massa de Plummer
usando a equação de Poisson. O conteúdo aqui envolve simetria esférica e a equação
.
Passo 2
Em simetria esférica, a equação de Poisson
reduz-se a
Introduzimos a massa acumulada
que pelo teorema de Gauss satisfaz
Passo 3
Calculamos
para a densidade de Plummer:
Escrevendo
e integrando, obtém-se o resultado clássico:
Passo 4
Com
em mãos,
Integramos em
impondo
: