1. Encontre de forma exata a probabilidade de transição \mathrm{P}_{\mathrm{ab}} no problema de 2 níveis submetidos a um potencial do tipo \mathrm{V}(\mathrm{t})=\mathrm{Ve}^{\mathrm{i} \omega \mathrm{t}} / 2, considerando \mathbf{c}_{\mathrm{a}}(\mathbf{0})=\mathbf{0} e \mathbf{c}_{\mathrm{b}}(\mathbf{0})=\mathbf{1}.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema de dois níveis com energias E_a e E_b, acoplados por um potencial oscilante
V(t)=\frac{V}{2}e^{i\omega t}\,,
e pede a probabilidade de transição de \lvert b\rangle\to\lvert a\rangle, isto é
P_{ab}(t)=\bigl\lvert c_a(t)\bigr\rvert^2
sabendo que c_a(0)=0 e c_b(0)=1. Para resolver, vamos (i) passar ao quadro rotante para eliminar a rápida oscilação de fase, (ii) obter uma EDO de segunda ordem para o coeficiente em \lvert a\rangle e (iii) impor as condições iniciais.

Passo 2

Definimos a frequência de transição não perturbada
\omega_{ab} = \frac{E_a - E_b}{\hbar}
e introduzimos os coeficientes no quadro rotante
A(t) = c_a(t)\,e^{i\omega_{ab}t},\quad B(t) = c_b(t)\,e^{i \cdot 0 \cdot t} = c_b(t)\,.
No quadro rotante, as equações de Schrödinger tornam-se
i \dot{A} = \frac{V}{2} \, e^{i(\omega - \omega_{ab})t} \, B, \quad i \dot{B} = \frac{V^*}{2} \, e^{-i(\omega - \omega_{ab})t} \, A.
Definimos o desajuste (detuning)
\Delta = \omega - \omega_{ab}.

Passo 3

Reescrevendo, temos
i\dot A=\frac{V}{2}e^{i\Delta t}\,B, \quad i\dot B=\frac{V^*}{2}e^{-i\Delta t}\,A.
Diferenciando a primeira equação e eliminando B via a segunda, obtemos a EDO
\ddot A + i\Delta\,\dot A + \frac{|V|^2}{4}\,A = 0.

Passo 4

A equação característica é
\lambda^2 + i\Delta\,\lambda + \frac{|V|^2}{4}=0,
cuja raízes são
\lambda_{\pm}=-\frac{i\Delta}{2}\pm\frac{i}{2}\,\Omega, \quad \Omega=\sqrt{\Delta^2+|V|^2}\,.
Logo a solução geral é combinação linear de e^{\lambda_+ t} e e^{\lambda_- t}.

Passo 5

Impondo A(0)=c_a(0)=0 e \dot A(0) obtido de i\dot A(0)=\tfrac V2\,B(0)=\tfrac V2, encontra-se
A(t)=-\,i\,\frac{V}{\Omega}\,e^{-i\Delta t/2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\Omega t}{2}\bigr).
Voltando ao coeficiente físico
c_a(t)=A(t)\,e^{-i\omega_{ab}t} =-\,i\,\frac{V}{\Omega}\,e^{-i(\omega_{ab}+\tfrac{\Delta}{2})t}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\Omega t}{2}\bigr).

Passo 6

A probabilidade de transição é
P_{ab}(t)=\lvert c_a(t)\rvert^2 =\frac{|V|^2}{\Omega^2}\,\sin^2\!\bigl(\tfrac{\Omega t}{2}\bigr),
com \displaystyle\Omega=\sqrt{\Delta^2+|V|^2} e \Delta=\omega-\omega_{ab}.

Resposta

P_{ab}(t) =\frac{|V|^2}{\Delta^2+|V|^2}\,\sin^2\!\Bigl(\frac{t}{2}\sqrt{\Delta^2+|V|^2}\Bigr), \quad \Delta=\omega-\omega_{ab}.
Em ressonância ( \Delta=0), simplifica para
P_{ab}(t)=\sin^2\!\bigl(\tfrac{|V|\,t}{2}\bigr).

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