Determine a lei de força para um campo de força central que permita o movimento de uma partícula em uma órbita espiral fornecida por r(\varphi)=k \varphi^{2}, onde k é uma constante.

Passo 1

O enunciado pede a lei de força para um campo central que gera a órbita
r(\varphi)=k\,\varphi^{2},
onde k é constante.
O conteúdo usado aqui é a equação de órbita em coordenadas polares, que se escreve definindo
u(\varphi)=\frac{1}{r(\varphi)}
e usando a relação (veja mecânica clássica de corpos sob força central)
\frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}+u=-\frac{F(r)}{m\,h^{2}\,u^{2}},
em que m é a massa da partícula e h=r^{2}\dot\varphi é o momento angular por unidade de massa (constante).

Passo 2

Definimos
u(\varphi)=\frac{1}{r(\varphi)}=\frac{1}{k\,\varphi^{2}}.
Calculamos as derivadas em relação a \varphi:
\frac{du}{d\varphi}=-\frac{2}{k}\,\varphi^{-3}, \qquad \frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}=\frac{6}{k}\,\varphi^{-4}.

Passo 3

Formamos o termo
\frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}+u =\frac{6}{k}\,\varphi^{-4}+\frac{1}{k}\,\varphi^{-2} =\frac{6+\varphi^{2}}{k\,\varphi^{4}}.

Passo 4

Da equação de órbita isolamos F(r):
F(r) =-\,m\,h^{2}\,u^{2}\Bigl(\frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}+u\Bigr).
Substituímos u=1/(k\varphi^{2}) e o resultado do passo anterior:
u^{2}=\frac{1}{k^{2}\,\varphi^{4}}, \quad \frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}+u=\frac{6+\varphi^{2}}{k\,\varphi^{4}},
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F(r) =-\,m\,h^{2}\;\frac{1}{k^{2}\,\varphi^{4}}\;\frac{6+\varphi^{2}}{k\,\varphi^{4}} =-\,m\,h^{2}\,\frac{6+\varphi^{2}}{k^{3}\,\varphi^{8}}.

Passo 5

Para escrever F em função de r, invertemos r=k\varphi^{2} em \varphi^{2}=r/k, daí
\varphi^{8}=\bigl(\varphi^{2}\bigr)^{4}=\frac{r^{4}}{k^{4}},
e
\frac{6+\varphi^{2}}{k^{3}\,\varphi^{8}} =\frac{6+\tfrac{r}{k}}{k^{3}\,\tfrac{r^{4}}{k^{4}}} =\frac{k\,(6+\tfrac{r}{k})}{r^{4}} =\frac{6\,k+r}{r^{4}}.
Portanto
F(r)=-\,m\,h^{2}\,\frac{6\,k+r}{r^{4}}.

Resposta

F(r)=-m\,h^{2}\,\frac{6k+r}{r^{4}},
onde h=r^{2}\dot\varphi é o momento angular por unidade de massa (constante do movimento).

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