Calcule o potencial gravitacional devido a um bastão delgado de comprimento l e massa M a uma distancia R do centro do bastão e em uma direção perpendicular ao bastão.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o potencial gravitacional criado por um bastão delgado (uniforme) de comprimento l e massa M no ponto que está a uma distância R do centro do bastão, na direção perpendicular ao seu eixo. Informação e perguntas claras:
  • Dados: comprimento do bastão l, massa total M, constante gravitacional G, distância perpendicular do ponto ao centro do bastão R.
  • Condições implícitas: bastão delgado e de densidade linear uniforme; o ponto está no plano perpendicular ao bastão passando pelo seu centro (ou seja, na mediatriz do bastão).
  • O que pedir: encontrar o potencial gravitacional V nesse ponto em função de G, M, l e R.

Passo 2

Definição física e escolha de coordenadas. O potencial gravitacional devido a uma distribuição de massa vale
V = -G \int \frac{dm}{r},
onde:
  • G é a constante gravitacional,
  • dm é o elemento de massa da distribuição,
  • r é a distância do elemento dm até o ponto onde se calcula o potencial.
    Vou colocar o eixo x ao longo do bastão com origem no centro do bastão. Assim o bastão vai de x=-\tfrac{l}{2} até x=+\tfrac{l}{2}. A distância do ponto ao elemento dx localizado em x é
r(x)=\sqrt{R^{2}+x^{2}},
onde R é constante durante a integração (é a distância perpendicular do ponto ao centro do bastão).

Passo 3

Expressão do elemento de massa e do integral a calcular. Como o bastão é uniforme, a densidade linear (massa por comprimento) é
\lambda=\frac{M}{l}.
Então dm=\lambda\,dx=\dfrac{M}{l}\,dx. Substituindo em V,
V = -G\int_{-l/2}^{l/2}\frac{dm}{r(x)} = -G\frac{M}{l}\int_{-l/2}^{l/2}\frac{dx}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}.

Passo 4

Antiderivada da função integranda. A integral que aparece é a integral padrão
\int\frac{dx}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}.
Uma antiderivada conhecida é a função arco seno hiperbólico (arsinh) ou a forma logarítmica. Mostro uma verificação rápida: se definirmos F(x)=\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{x}{R}\right), então usando a derivada de \operatorname{arsinh} tem-se
\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{x}{R}\right)=\frac{1}{\sqrt{1+(x/R)^{2}}}\cdot\frac{1}{R}=\frac{1}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}.
Logo uma primitiva é F(x)=\operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{x}{R}\right). Alternativamente essa primitiva pode ser escrita em termos de logaritmo:
\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{x}{R}\right)=\ln\!\left(\frac{x+\sqrt{R^{2}+x^{2}}}{R}\right).

Passo 5

Avaliação do integral definido usando a antiderivada. Tomando a=\dfrac{l}{2},
\int_{-a}^{a}\frac{dx}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}} = \left.\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{x}{R}\right)\right|_{x=-a}^{x=a} = \operatorname{arsinh}\!\left(\frac{a}{R}\right)-\operatorname{arsinh}\!\left(-\frac{a}{R}\right).
Como \operatorname{arsinh} é ímpar, \operatorname{arsinh}(-u)=-\operatorname{arsinh}(u). Portanto o resultado é
\int_{-a}^{a}\frac{dx}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}=2\,\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{a}{R}\right) =2\,\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{l}{2R}\right).

Passo 6

Substituindo o resultado no integral para V. Lembrando \lambda=M/l,
V = -G\frac{M}{l}\cdot 2\,\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{l}{2R}\right).
Simplificando,
V = -\frac{2GM}{l}\,\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{l}{2R}\right).

Passo 7

Formas equivalentes úteis. Usando a forma logarítmica de \operatorname{arsinh} obtém-se também
V = -\frac{2GM}{l}\,\ln\!\left(\frac{\tfrac{l}{2}+\sqrt{R^{2}+\big(\tfrac{l}{2}\big)^{2}}}{R}\right).
Essas duas expressões são algebraicamente equivalentes; escolha a que preferir no cálculo da prova.

Passo 8

Limites físicos (dicas para prova): é bom checar limites para ganhar confiança.
  • Para R\gg l (ponto muito longe do bastão), \operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{l}{2R}\right)\approx \dfrac{l}{2R}, logo
V\approx -\frac{2GM}{l}\cdot\frac{l}{2R}=-\frac{GM}{R},
que é o potencial como se toda a massa estivesse concentrada no ponto (comportamento de massa pontual).
  • Para R\ll l (ponto muito próximo e perpendicular ao meio do bastão), \operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{l}{2R}\right)\approx \ln\!\left(\dfrac{l}{R}\right) até constantes, mostrando dependência logarítmica típica de distribuições alongadas.

Resposta

-\dfrac{2GM}{l}\,\operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{l}{2R}\right)
ou equivalentemente
-\dfrac{2GM}{l}\,\ln\!\left(\dfrac{\tfrac{l}{2}+\sqrt{R^{2}+(\tfrac{l}{2})^{2}}}{R}\right)

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