Calcule o potencial gravitacional devido a um bastão delgado de comprimento l e massa M a uma distancia R do centro do bastão e em uma direção perpendicular ao bastão.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o potencial gravitacional criado por um bastão delgado (uniforme) de comprimento l e massa M no ponto que está a uma distância R do centro do bastão, na direção perpendicular ao seu eixo. Informação e perguntas claras:
Dados: comprimento do bastão l, massa total M, constante gravitacional G, distância perpendicular do ponto ao centro do bastão R.
Condições implícitas: bastão delgado e de densidade linear uniforme; o ponto está no plano perpendicular ao bastão passando pelo seu centro (ou seja, na mediatriz do bastão).
O que pedir: encontrar o potencial gravitacional V nesse ponto em função de G, M, l e R.
Passo 2
Definição física e escolha de coordenadas. O potencial gravitacional devido a uma distribuição de massa vale
V = -G \int \frac{dm}{r},
onde:
G é a constante gravitacional,
dm é o elemento de massa da distribuição,
r é a distância do elemento dm até o ponto onde se calcula o potencial.
Vou colocar o eixo x ao longo do bastão com origem no centro do bastão. Assim o bastão vai de x=-\tfrac{l}{2} até x=+\tfrac{l}{2}. A distância do ponto ao elemento dx localizado em x é
r(x)=\sqrt{R^{2}+x^{2}},
onde R é constante durante a integração (é a distância perpendicular do ponto ao centro do bastão).
Passo 3
Expressão do elemento de massa e do integral a calcular. Como o bastão é uniforme, a densidade linear (massa por comprimento) é
\lambda=\frac{M}{l}.
Então dm=\lambda\,dx=\dfrac{M}{l}\,dx. Substituindo em V,
V = -G\int_{-l/2}^{l/2}\frac{dm}{r(x)} = -G\frac{M}{l}\int_{-l/2}^{l/2}\frac{dx}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}.
Passo 4
Antiderivada da função integranda. A integral que aparece é a integral padrão
\int\frac{dx}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}.
Uma antiderivada conhecida é a função arco seno hiperbólico (arsinh) ou a forma logarítmica. Mostro uma verificação rápida: se definirmos F(x)=\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{x}{R}\right), então usando a derivada de \operatorname{arsinh} tem-se
que é o potencial como se toda a massa estivesse concentrada no ponto (comportamento de massa pontual).
Para R\ll l (ponto muito próximo e perpendicular ao meio do bastão), \operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{l}{2R}\right)\approx \ln\!\left(\dfrac{l}{R}\right) até constantes, mostrando dependência logarítmica típica de distribuições alongadas.
Resposta
-\dfrac{2GM}{l}\,\operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{l}{2R}\right)
ou equivalentemente -\dfrac{2GM}{l}\,\ln\!\left(\dfrac{\tfrac{l}{2}+\sqrt{R^{2}+(\tfrac{l}{2})^{2}}}{R}\right)