Considere uma sequência infinita de esferas condutoras, tal que a maior delas tem raio R. As esferas seguintes têm raios \eta . R, \eta^{2} . R, \eta^{3} . R e assim sucessivamente ( 0 \quad \eta \quad 1 ). As esferas estão interligadas entre si e em equilíbrio eletrostático. A carga total das esferas do equilíbrio é Q. Assinale a alternativa que corresponde ao valor do potencial de equilíbrio e ao valor da carga da primeira esfera no equilíbrio.
= constante eletrostática

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (sem resolver ainda).
  • Há uma sequência infinita de esferas condutoras interligadas entre si.
  • Raios das esferas: a primeira tem raio R, a segunda tem raio \eta R, a terceira tem raio \eta^{2}R, e assim por diante, com 0<\eta<1. Em termos de índice i (começando em i=1):
a_i = R\,\eta^{\,i-1}\quad (i=1,2,3,\dots)
  • As esferas estão em equilíbrio eletrostático e interligadas (portanto no mesmo potencial).
  • A carga total do conjunto é Q.
  • A constante eletrostática é k.
O enunciado pede:
  1. O valor do potencial de equilíbrio (ou seja, o potencial comum V das esferas).
  2. A carga da primeira esfera no equilíbrio (ou seja, q_1).

Passo 2

Propriedade básica que vamos usar (explicada): quando um condutor esférico isolado tem carga q e raio a, o campo elétrico fora da esfera é igual ao de uma carga pontual q colocada no centro; por isso o potencial, medido em relação ao infinito, é
V = \frac{k\,q}{a}.
Explicando bem devagar: V é o potencial elétrico (em volts), k é a constante eletrostática ( k=1/(4\pi\varepsilon_0) se quiser lembrar), q é a carga da esfera e a é o raio da esfera. Essa fórmula vale para uma esfera condutora isolada vista a partir do exterior e também vale para cada esfera individual quando elas estão suficientemente separadas ou quando consideramos apenas que cada esfera tem potencial \,kq/a (a hipótese de esferas interligadas e em equilíbrio implica que todas têm o mesmo potencial).

Passo 3

Como as esferas estão interligadas e em equilíbrio, todas têm o mesmo potencial comum V. Então para cada esfera i vale
V = \frac{k\,q_i}{a_i}.
Dessa relação isolamos a carga de cada esfera:
q_i = \frac{a_i}{k}\;V.
Aqui q_i é a carga da i-ésima esfera e a_i o seu raio. Isso mostra uma consequência importante: as cargas distribuídas entre as esferas são proporcionais aos respectivos raios.

Passo 4

Usamos a condição da carga total. A soma das cargas de todas as esferas é Q, logo
Q=\sum_{i=1}^{\infty} q_i = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i}{k}\,V = \frac{V}{k}\sum_{i=1}^{\infty} a_i .
Agora substituímos a_i = R\,\eta^{\,i-1}. Então a soma dos raios é uma série geométrica:
\sum_{i=1}^{\infty} a_i = \sum_{i=0}^{\infty} R\,\eta^{\,i} = R\sum_{i=0}^{\infty}\eta^{\,i}.
Como 0<\eta<1, a soma da série geométrica é
\sum_{i=0}^{\infty}\eta^{\,i} = \frac{1}{1-\eta}.
Portanto
\sum_{i=1}^{\infty} a_i = \frac{R}{1-\eta}.

Passo 5

Substituindo a soma dos raios em Q=\dfrac{V}{k}\sum a_i obtemos
Q = \frac{V}{k}\cdot\frac{R}{1-\eta}.
Isolando V:
V = k\,Q\;\frac{1-\eta}{R}.
Esse é o potencial de equilíbrio comum a todas as esferas. Dá para interpretar: quanto maior Q, maior V; quanto maior o raio R da maior esfera, menor o potencial; e o fator 1-\eta aparece por causa da soma geométrica das esferas decrescentes.

Passo 6

Agora calculamos a carga da primeira esfera. Usamos q_1 = \dfrac{a_1}{k}\,V com a_1=R. Assim
q_1 = \frac{R}{k}\,V.
Substituindo V = k\,Q\,\dfrac{1-\eta}{R}:
q_1 = \frac{R}{k}\cdot k\,Q\frac{1-\eta}{R} = Q(1-\eta).
Portanto a primeira esfera fica com a fração 1-\eta da carga total. (Como checagem rápida, a carga da i-ésima esfera seria q_i = Q(1-\eta)\eta^{\,i-1} e a soma \sum_{i=1}^\infty q_i = Q(1-\eta)\sum_{i=0}^\infty\eta^{\,i}=Q, consistente.)

Resposta

V = k\,Q\,\dfrac{1-\eta}{R}
q_1 = Q(1-\eta)

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