Considere uma sequência infinita de esferas condutoras, tal que a maior delas tem raio
. As esferas seguintes têm raios
e assim sucessivamente (
). As esferas estão interligadas entre si e em equilíbrio eletrostático. A carga total das esferas do equilíbrio é Q. Assinale a alternativa que corresponde ao valor do potencial de equilíbrio e ao valor da carga da primeira esfera no equilíbrio.
= constante eletrostática
= constante eletrostática
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (sem resolver ainda).
- Há uma sequência infinita de esferas condutoras interligadas entre si.
- Raios das esferas: a primeira tem raio
, a segunda tem raio , a terceira tem raio , e assim por diante, com . Em termos de índice (começando em ):
- As esferas estão em equilíbrio eletrostático e interligadas (portanto no mesmo potencial).
- A carga total do conjunto é
. - A constante eletrostática é
.
O enunciado pede:
- O valor do potencial de equilíbrio (ou seja, o potencial comum
das esferas). - A carga da primeira esfera no equilíbrio (ou seja,
).
Passo 2
Propriedade básica que vamos usar (explicada): quando um condutor esférico isolado tem carga
e raio
, o campo elétrico fora da esfera é igual ao de uma carga pontual
colocada no centro; por isso o potencial, medido em relação ao infinito, é
Explicando bem devagar:
é o potencial elétrico (em volts),
é a constante eletrostática (
se quiser lembrar),
é a carga da esfera e
é o raio da esfera. Essa fórmula vale para uma esfera condutora isolada vista a partir do exterior e também vale para cada esfera individual quando elas estão suficientemente separadas ou quando consideramos apenas que cada esfera tem potencial
(a hipótese de esferas interligadas e em equilíbrio implica que todas têm o mesmo potencial).
Passo 3
Como as esferas estão interligadas e em equilíbrio, todas têm o mesmo potencial comum
. Então para cada esfera
vale
Dessa relação isolamos a carga de cada esfera:
Aqui
é a carga da i-ésima esfera e
o seu raio. Isso mostra uma consequência importante: as cargas distribuídas entre as esferas são proporcionais aos respectivos raios.
Passo 4
Usamos a condição da carga total. A soma das cargas de todas as esferas é
, logo
Agora substituímos
. Então a soma dos raios é uma série geométrica:
Como
, a soma da série geométrica é
Portanto
Passo 5
Substituindo a soma dos raios em
obtemos
Isolando
:
Esse é o potencial de equilíbrio comum a todas as esferas. Dá para interpretar: quanto maior
, maior
; quanto maior o raio
da maior esfera, menor o potencial; e o fator
aparece por causa da soma geométrica das esferas decrescentes.
Passo 6
Agora calculamos a carga da primeira esfera. Usamos
com
. Assim
Substituindo
:
Portanto a primeira esfera fica com a fração
da carga total. (Como checagem rápida, a carga da i-ésima esfera seria
e a soma
, consistente.)