Um cano com diâmetro interno de 2,5 \mathrm{~cm} transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de 0,90 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com uma pressão de 170 kPa . Se o cano se estreita para 1,2 cm e sobe para o segundo piso, acima do ponto de entrada, quais são (a) a velocidade e (b) a pressão da água no segundo piso? (c) Se não houvesse mudança da seção transversal qual seria a pressão? (d) Qual a altura máxima atingida se o cano estivesse fechado?

Passo 1

O enunciado dá estes dados e pede as quantidades indicadas:
Dados fornecidos:
  • Diâmetro inicial: d_1 = 2{,}5\\ \text{cm} = 0{,}025\\ \text{m}.
  • Velocidade no ponto 1 (porão): v_1 = 0{,}90\\ \text{m/s}.
  • Pressão no ponto 1: P_1 = 170\\ \text{kPa} = 170000\\ \text{Pa}.
  • Diâmetro no segundo piso: d_2 = 1{,}2\\ \text{cm} = 0{,}012\\ \text{m}.
  • A tubulação sobe do porão para o segundo piso (a diferença de altura \,h = z_2-z_1 não foi fornecida no enunciado).
O que o enunciado pede:
(a) a velocidade da água no segundo piso;
(b) a pressão da água no segundo piso;
(c) se não houvesse mudança da seção transversal, qual seria a pressão no segundo piso;
(d) a altura máxima atingida se o cano estivesse fechado.
Observação importante: para determinar numericamente as pressões entre dois pontos com alturas diferentes é necessário saber a diferença de altura \,h=z_2-z_1. O enunciado não dá esse valor. Portanto, para (b) e (c) só é possível dar a expressão de \,P_2 em função de \,h; quando útil eu também apresento o caso especial \,h=0. Para (d) há ambiguidade sobre o que significa “fechado”; vou explicar as interpretações possíveis e calcular um caso padrão (assumindo que a pressão dada é pressão de manômetro/gauge e que se quer a altura máxima de um jato aberto à atmosfera).

Passo 2

Cálculo da velocidade no segundo piso usando a equação da continuidade (conservação de massa para fluido incompressível).
A equação da continuidade para um fluido incompressível num duto é
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A é a área da seção transversal e v a velocidade. Para um círculo A=\pi d^2/4. Assim
v_2 = v_1\frac{A_1}{A_2} = v_1\frac{d_1^2}{d_2^2}.
Agora calculo numericamente:
\frac{d_1}{d_2}=\frac{0{,}025}{0{,}012}=2{,}083333\ldots
\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2=2{,}083333\ldots^{\,2}=4{,}340277\ldots
v_2 = 0{,}90\cdot 4{,}340277\ldots = 3{,}90625\\ \text{m/s}.
Interpretação e dica para prova: a continuidade é só a conservação de massa; em tubos, a velocidade aumenta quando a área diminui segundo a razão quadrada dos diâmetros. Não esqueça de converter centímetros para metros antes de elevar ao quadrado.

Passo 3

Cálculo da pressão no segundo piso — derivação da relação (Bernoulli) e aplicação.
Teoria básica (Bernoulli incompressível, sem perdas, entre dois pontos em escoamento estacionário):
P_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g z_1 = P_2+\tfrac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g z_2,
onde
  • P é a pressão (Pa),
  • \rho é a densidade do fluido ( \rho_{\text{água}}\approx 1000\\ \text{kg/m}^3á),
  • v é a velocidade (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}80\\ \text{m/s}^2),
  • z é a elevação vertical (m).
Isolando P_2 e definindo h=z_2-z_1,
P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2-v_2^2\right) - \rho g h.
Explicando cada termo intuitivamente:
  • P_1 é a pressão inicial;
  • \tfrac{1}{2}\rho(v_1^2-v_2^2) é a variação de pressão associada à mudança de energia cinética (se v_2>v_1 este termo é negativo, reduzindo a pressão);
  • -\rho g h é a redução de pressão necessária para elevar a coluna de água pela altura h.
Agora substituo os valores conhecidos ( \rho=1000\\ \text{kg/m}^3, v_1=0{,}90\\ \text{m/s}, v_2=3{,}90625\\ \text{m/s}, P_1=170000\\ \text{Pa}) mantendo h simbólico:
\tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2-v_2^2\right) = \tfrac{1}{2}\cdot 1000\left(0{,}90^2-3{,}90625^2\right)\\ \text{Pa}.
Calculo das potências:
v_1^2 = 0{,}90^2 = 0{,}81, \qquad v_2^2 = 3{,}90625^2 = 15{,}2587890625.
Diferença:
v_1^2-v_2^2 = 0{,}81 - 15{,}2587890625 = -14{,}4487890625.
Metade vezes \rho:
\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2-v_2^2) = 500\cdot(-14{,}4487890625) = -7224{,}39453125\\ \text{Pa}.
Logo a expressão final é
P_2(h) = 170000 -7224{,}39453125 - 1000\cdot 9{,}80\cdot h.
Simplificando numericamente:
P_2(h) \approx 162775{,}6 - 9800\,h \quad(\text{P em Pa, }h\text{ em m}).
Observação prática:
  • Se a diferença de altura fosse h=0 (mesma elevação), então
P_2(h=0)\approx 162775{,}6\\ \text{Pa}\approx 162{,}8\\ \text{kPa}.
Isto mostra que a redução de área (aumento de velocidade) já reduz a pressão em torno de 7{,}2\\ \text{kPa} mesmo sem elevar o fluido.

Passo 4

Caso (c): se não houvesse mudança de seção transversal (isto é, d_2=d_1), a velocidade no segundo piso seria igual à inicial ( v_2=v_1). Nesse caso a equação de Bernoulli entre os pontos dá
P_2 = P_1 - \rho g h,
porque o termo cinético cancela ( v_1^2-v_2^2=0).
Colocando números:
P_2(h) = 170000 - 1000\cdot 9{,}80\cdot h = 170000 - 9800\,h\\ \text{Pa}.
E no caso especial h=0,
P_2(h=0) = 170000\\ \text{Pa} = 170\\ \text{kPa}.
Dica de prova: se as velocidades nos dois pontos forem iguais, Bernoulli reduz-se à diferença hidrostática P_1-P_2=\rho g h.

Passo 5

Interpretação e cálculo da altura máxima (item d). Há duas formas comuns de entender “altura máxima” dependendo de como o cano termina; explico as interpretações e apresento o cálculo do caso mais usado em exercícios:
Interpretação 1 (jato aberto à atmosfera no topo): a água sai para a atmosfera no topo (a extremidade está aberta) e deseja-se saber até que altura o jato poderia subir (velocidade da saída convertida totalmente em potencial). Nesse caso usa-se Bernoulli entre o ponto 1 (no interior do cano) e o topo do jato (superfície livre, P_{\text{atm}}, velocidade zero no ponto mais alto). Assumindo que a pressão dada P_1=170\\ \text{kPa} é a pressão de manômetro (pressão acima da atmosférica) — hipótese padrão em muitos problemas — a expressão para a altura máxima é
h_{\max} = \frac{P_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g}.
Explicação: o primeiro termo é a “carga de pressão” convertível em elevação; o segundo termo é a contribuição da energia cinética inicial. Agora calculo numericamente com \rho=1000\\ \text{kg/m}^3 e g=9{,}80\\ \text{m/s}^2:
\frac{P_1}{\rho g} = \frac{170000}{1000\cdot 9{,}80} = \frac{170000}{9800} \approx 17{,}34694\\ \text{m},
\frac{v_1^2}{2g} = \frac{0{,}90^2}{2\cdot 9{,}80} = \frac{0{,}81}{19{,}6} \approx 0{,}04133\\ \text{m}.
Somando,
h_{\max}\approx 17{,}34694 + 0{,}04133 \approx 17{,}3883\\ \text{m}\approx 17{,}39\\ \text{m}.
Observações sobre interpretação e hipóteses:
  • Este resultado assume que P_1=170\\ \text{kPa} é pressão gauge (acima da atmosférica). Se P_1 fosse dado como pressão absoluta, seria necessário subtrair P_{\text{atm}} antes; mas em problemas práticos de encanamento costuma-se dar pressão em kPa como pressão de manômetro.
  • Se o cano estivesse realmente “fechado” no topo (selado), a situação é diferente: a água não escaparia para a atmosfera e a pressão no topo aumentaria ou cairia dependendo do encher/esvaziar; nesse caso a “altura máxima” não é bem definida sem mais informações sobre o volume de ar aprisionado e compressibilidade, por isso é ambíguo. Se a intenção for a altura que a pressão disponível pode suportar estaticamente, uma estimativa simples é h \le P_1/(\rho g) (ignorando velocidade), mas é preciso clarificar o cenário para um cálculo preciso.

Resposta

(a) v_2 = 3{,}90625\\ \text{m/s} \approx 3{,}91\\ \text{m/s}
(b) P_2(h) \approx 162775{,}6 - 9800\,h\\ \text{Pa} (onde h=z_2-z_1 em metros). Para h=0: P_2\approx 162775{,}6\\ \text{Pa}\approx 162{,}8\\ \text{kPa}.
(c) Se a seção não mudasse: P_2(h)=170000 - 9800\,h\\ \text{Pa}. Para h=0: P_2=170000\\ \text{Pa}=170\\ \text{kPa}.
(d) Interpretação padrão (tubo aberto no topo e P_1 é pressão gauge): h_{\max}\approx 17{,}39\\ \text{m}.

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