Um cano com diâmetro interno de
transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de
com uma pressão de 170 kPa . Se o cano se estreita para 1,2 cm e sobe para o segundo piso, acima do ponto de entrada, quais são (a) a velocidade e (b) a pressão da água no segundo piso? (c) Se não houvesse mudança da seção transversal qual seria a pressão? (d) Qual a altura máxima atingida se o cano estivesse fechado?
Passo 1
O enunciado dá estes dados e pede as quantidades indicadas:
Dados fornecidos:
- Diâmetro inicial:
. - Velocidade no ponto 1 (porão):
. - Pressão no ponto 1:
. - Diâmetro no segundo piso:
. - A tubulação sobe do porão para o segundo piso (a diferença de altura
não foi fornecida no enunciado).
O que o enunciado pede:
(a) a velocidade da água no segundo piso;
(b) a pressão da água no segundo piso;
(c) se não houvesse mudança da seção transversal, qual seria a pressão no segundo piso;
(d) a altura máxima atingida se o cano estivesse fechado.
(a) a velocidade da água no segundo piso;
(b) a pressão da água no segundo piso;
(c) se não houvesse mudança da seção transversal, qual seria a pressão no segundo piso;
(d) a altura máxima atingida se o cano estivesse fechado.
Observação importante: para determinar numericamente as pressões entre dois pontos com alturas diferentes é necessário saber a diferença de altura
. O enunciado não dá esse valor. Portanto, para (b) e (c) só é possível dar a expressão de
em função de
; quando útil eu também apresento o caso especial
. Para (d) há ambiguidade sobre o que significa “fechado”; vou explicar as interpretações possíveis e calcular um caso padrão (assumindo que a pressão dada é pressão de manômetro/gauge e que se quer a altura máxima de um jato aberto à atmosfera).
Passo 2
Cálculo da velocidade no segundo piso usando a equação da continuidade (conservação de massa para fluido incompressível).
A equação da continuidade para um fluido incompressível num duto é
onde
é a área da seção transversal e
a velocidade. Para um círculo
. Assim
Agora calculo numericamente:
Interpretação e dica para prova: a continuidade é só a conservação de massa; em tubos, a velocidade aumenta quando a área diminui segundo a razão quadrada dos diâmetros. Não esqueça de converter centímetros para metros antes de elevar ao quadrado.
Passo 3
Cálculo da pressão no segundo piso — derivação da relação (Bernoulli) e aplicação.
Teoria básica (Bernoulli incompressível, sem perdas, entre dois pontos em escoamento estacionário):
onde
-
é a pressão (Pa), -
é a densidade do fluido ( ), -
é a velocidade (m/s), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a elevação vertical (m).
Isolando
e definindo
,
Explicando cada termo intuitivamente:
-
é a pressão inicial; -
é a variação de pressão associada à mudança de energia cinética (se este termo é negativo, reduzindo a pressão); -
é a redução de pressão necessária para elevar a coluna de água pela altura .
Agora substituo os valores conhecidos (
,
,
,
) mantendo
simbólico:
Calculo das potências:
Diferença:
Metade vezes
:
Logo a expressão final é
Simplificando numericamente:
Observação prática:
- Se a diferença de altura fosse
(mesma elevação), então
Isto mostra que a redução de área (aumento de velocidade) já reduz a pressão em torno de
mesmo sem elevar o fluido.
Passo 4
Caso (c): se não houvesse mudança de seção transversal (isto é,
), a velocidade no segundo piso seria igual à inicial (
). Nesse caso a equação de Bernoulli entre os pontos dá
porque o termo cinético cancela (
).
Colocando números:
E no caso especial
,
Dica de prova: se as velocidades nos dois pontos forem iguais, Bernoulli reduz-se à diferença hidrostática
.
Passo 5
Interpretação e cálculo da altura máxima (item d). Há duas formas comuns de entender “altura máxima” dependendo de como o cano termina; explico as interpretações e apresento o cálculo do caso mais usado em exercícios:
Interpretação 1 (jato aberto à atmosfera no topo): a água sai para a atmosfera no topo (a extremidade está aberta) e deseja-se saber até que altura o jato poderia subir (velocidade da saída convertida totalmente em potencial). Nesse caso usa-se Bernoulli entre o ponto 1 (no interior do cano) e o topo do jato (superfície livre,
, velocidade zero no ponto mais alto). Assumindo que a pressão dada
é a pressão de manômetro (pressão acima da atmosférica) — hipótese padrão em muitos problemas — a expressão para a altura máxima é
Explicação: o primeiro termo é a “carga de pressão” convertível em elevação; o segundo termo é a contribuição da energia cinética inicial. Agora calculo numericamente com
e
:
Somando,
Observações sobre interpretação e hipóteses:
- Este resultado assume que
é pressão gauge (acima da atmosférica). Se fosse dado como pressão absoluta, seria necessário subtrair antes; mas em problemas práticos de encanamento costuma-se dar pressão em kPa como pressão de manômetro. - Se o cano estivesse realmente “fechado” no topo (selado), a situação é diferente: a água não escaparia para a atmosfera e a pressão no topo aumentaria ou cairia dependendo do encher/esvaziar; nesse caso a “altura máxima” não é bem definida sem mais informações sobre o volume de ar aprisionado e compressibilidade, por isso é ambíguo. Se a intenção for a altura que a pressão disponível pode suportar estaticamente, uma estimativa simples é
(ignorando velocidade), mas é preciso clarificar o cenário para um cálculo preciso.
Resposta
(a)
(b) (onde
em metros). Para
:
.
(c) Se a seção não mudasse: . Para
:
.
(d) Interpretação padrão (tubo aberto no topo e é pressão gauge):
.
(b)
(c) Se a seção não mudasse:
(d) Interpretação padrão (tubo aberto no topo e