(2,0 Pt) Calcule o potencial químico de uma solução diluída de sacarose ( \mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11} ) a 35{ }^{\circ} \mathrm{C} com concentração \mathrm{Ci}=0,3 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Considere \mu_{\mathrm{i}}=-1460 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}, \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} / \mathrm{molK}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o potencial químico de uma solução diluída de sacarose a 35{ }^{\circ}\mathrm{C} com concentração C_i = 0,3\\ \mathrm{mol/L}. Os dados fornecidos são:
  • potencial químico padrão do soluto: \mu_i^\circ = -1460\\ \mathrm{kJ/mol} (fornecido no enunciado);
  • constante dos gases: R = 8,314\\ \mathrm{J/(mol\;K)} (fornecido);
  • temperatura: 35{ }^{\circ}\mathrm{C} (fornecido);
  • concentração: C_i = 0,3\\ \mathrm{mol/L} (fornecido).
O que se pede: calcular o potencial químico \mu_i da sacarose na solução dada.

Passo 2

Fórmula que vamos usar e significado das letras (aula rápida e prática).
Para um soluto ideal em solução diluída, o potencial químico relaciona-se com o potencial padrão pela expressão
\mu_i = \mu_i^\circ + RT\ln a_i,
onde:
  • \mu_i é o potencial químico do soluto na solução (o que queremos achar);
  • \mu_i^\circ é o potencial químico padrão (valor dado para a “unidade” de referência: normalmente corresponde a atividade a_i=1);
  • R é a constante universal dos gases (em \mathrm{J/(mol\;K)});
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K});
  • a_i é a atividade do soluto (medida da “concentração efetiva” em termos termodinâmicos).
Em soluções diluídas e para solutos não iônicos ideais, costuma-se aproximar a atividade pelo valor da concentração relacionada à unidade de referência. Se a unidade padrão for 1\\ \mathrm{mol/L}, então podemos aproximar a_i \approx C_i (desde que C_i esteja adimensionalizada em relação a 1\\ \mathrm{mol/L}). Aqui usaremos essa aproximação prática:
a_i \approx C_i = 0,3.
(Em provas, se não houver indicação diferente, essa é a aproximação que aparece com mais frequência.)

Passo 3

Converter unidades e preparar valores numéricos:
  • Converter \mu_i^\circ para \mathrm{J/mol} para ficar compatível com R:
\mu_i^\circ = -1460\\ \mathrm{kJ/mol} = -1460\times 10^{3}\\ \mathrm{J/mol} = -1{,}460\times10^{6}\\ \mathrm{J/mol}.
  • Converter temperatura para kelvin:
T = 35{ }^{\circ}\mathrm{C} = 35 + 273{,}15 = 308{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o termo RT:
RT = (8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\;K)})\cdot(308{,}15\\ \mathrm{K}).
Vamos fazer a conta passo a passo (sem pular etapas):
8{,}314 \times 308{,}15 = 8{,}314\times 300 + 8{,}314\times 8{,}15.
8{,}314\times 300 = 2{,}494{,}2\quad\text{(em J/mol)},
8{,}314\times 8{,}15 \approx 8{,}314\times 8 + 8{,}314\times 0{,}15 = 66{,}512 + 1{,}2471 \approx 67{,}7591.
Somando:
RT \approx 2{,}494{,}2 + 67{,}7591 = 2{,}561{,}9591\\ \mathrm{J/mol}.
Arredondando com precisão razoável para uso prático:
RT \approx 2{,}562\\ \mathrm{kJ/mol} = 2{,}562\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}.
(Observação: mantive as contas explícitas para que dê para fazer sem calculadora em exame — pode usar aproximações semelhantes.)

Passo 5

Calcular \ln a_i = \ln C_i:
\ln(0,3) = \ln\!\bigl(3\times 10^{-1}\bigr) = \ln 3 + \ln 10^{-1} = \ln 3 - \ln 10.
Usando valores conhecidos:
\ln 3 \approx 1{,}098612,\qquad \ln 10 \approx 2{,}302585,
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\ln(0,3) \approx 1{,}098612 - 2{,}302585 = -1{,}203973.
Agora o termo RT\ln a_i:
RT\ln a_i \approx (2{,}561{,}9591\\ \mathrm{J/mol})\times (-1{,}203973) \approx -3{,}084{,}6\\ \mathrm{J/mol}.
Arredondando:
RT\ln a_i \approx -3{,}085\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 6

Calcular \mu_i somando os termos (prestar atenção à unidade):
\mu_i = \mu_i^\circ + RT\ln a_i.
Substituindo os valores em \mathrm{J/mol}:
\mu_i \approx -1{,}460{,}000\\ \mathrm{J/mol} + (-3{,}085\\ \mathrm{J/mol}) = -1{,}463{,}085\\ \mathrm{J/mol}.
Converter para \mathrm{kJ/mol} (dividindo por 10^{3}) para apresentar de forma mais usual:
\mu_i \approx -1{,}463{,}085\\ \mathrm{J/mol} = -1{,}463{,}085\times10^{-3}\\ \mathrm{kJ/mol} = -1{,}463{,}085/1000\\ \mathrm{kJ/mol}.
\mu_i \approx -1{,}463{,}085/1000 = -1{,}463{,}085/1000 \approx -1463{,}085\\ \mathrm{kJ/mol}.
Arredondando com uma casa decimal razoável:
\mu_i \approx -1463{,}1\\ \mathrm{kJ/mol}.

Passo 7

Interpretação curta (motivacional para a prova): a variação do potencial químico em relação ao padrão é pequena nesse caso (apenas alguns kJ/mol) porque a concentração é moderadamente diluída; na prova, escreva claramente a fórmula \mu_i=\mu_i^\circ+RT\ln a_i, converta temperatura para kelvin, coloque unidades consistentes e calcule \ln da concentração. Se der tempo, mostre a conversão de \mu_i^\circ em \mathrm{J/mol} para ficar coerente com R.

Resposta

-1463{,}1\\ \mathrm{kJ/mol}

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