Demonstre que a fração molar y_{i}=\frac{n_{i}}{n} é igual a y_{i}=\frac{c_{i}}{c}

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar que a fração molar y_{i}=\dfrac{n_{i}}{n} é igual a y_{i}=\dfrac{c_{i}}{c}.
Informações relevantes e definições que vamos usar (todas extraídas do contexto usual de mistura homogênea):
  • n_{i} é o número de mols da espécie i presente na mistura.
  • n é o número total de mols da mistura, isto é n=\sum_{j} n_{j}.
  • c_{i} é a concentração molar (molaridade) da espécie i, definida como quantidade de mol por unidade de volume.
  • c é a concentração molar total da mistura, isto é a quantidade total de mol por unidade de volume.
  • Assumimos que todos os n_{i} estão no mesmo volume total V (situação típica: uma solução ou uma mistura gasosa ocupando um mesmo volume).

Passo 2

Explicando a definição de concentração molar com calma: a concentração molar de uma espécie é a razão entre o número de mols dessa espécie e o volume onde esses mols estão dissolvidos/contidos. Em notação:
c_{i} = \frac{n_{i}}{V}.
A concentração molar total c é a razão entre o número total de mols e o mesmo volume:
c = \frac{n}{V}.
Aqui V é o volume da amostra/mistura (mesmo para todas as espécies porque estamos falando da mesma amostra).

Passo 3

Transformando n_{i} e n em função de c_{i}, c e V: a partir das definições do passo anterior,
n_{i} = c_{i}\,V, \qquad n = c\,V.
Isso é só reescrever as definições isolando n_{i} e n.

Passo 4

Substituindo essas expressões na definição da fração molar y_{i}:
y_{i}=\frac{n_{i}}{n}=\frac{c_{i}\,V}{c\,V}.
Agora vemos o volume V no numerador e no denominador; como V é o mesmo (não é zero), ele se cancela.

Passo 5

Cancelando V obtemos a igualdade desejada:
y_{i}=\frac{c_{i}}{c}.
Ou seja: a fração molar é igual à razão entre a concentração molar da espécie i e a concentração molar total.

Passo 6

Intuição e comentários práticos:
  • A razão funciona porque concentração é mol por volume, e como todas as espécies ocupam o mesmo volume da mistura, o fator comum 1/V desaparece.
  • Em gases ideais, usando a lei dos gases pV=nRT, tem-se c_i=\dfrac{n_i}{V}=\dfrac{p_i}{RT} e c=\dfrac{n}{V}=\dfrac{p}{RT}. Como RT é comum, obtemos também y_i=\dfrac{p_i}{p} (fração molar igual à fração de pressão — útil para misturas gasosas).
  • Exemplo numérico rápido para fixar: se num volume V n_1=2 mol e n_2=3 mol então n=5 mol, y_1=2/5. As concentrações são c_1=2/V e c=5/V, logo c_1/c=(2/V)/(5/V)=2/5=y_1.

Resposta

y_{i}=\frac{n_{i}}{n}=\frac{c_{i}}{c}

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