Calcule as potências abaixo:
(a) (1+i)^10;

Passo 1

O enunciado pede para calcular (1+i)^{10}. Estamos trabalhando com números complexos e vamos usar a forma trigonométrica (ou polar) e o Teorema de De Moivre para simplificar a potência.

Passo 2

Primeiro, determinamos o módulo e o argumento de 1+i. O módulo é r=|1+i|=raiz1^2+1^2=raiz2. O argumento é theta=arctan(1/1)=pi/4.

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre, temos:
(1+i)^10 = r^10l(cos(10theta)+isin(10theta)r)
Substituindo r=raiz2 e theta=pi/4:
(1+i)^10 = (raiz2)^10l(cos(10cdottfracpi4)+isin(10cdottfracpi4)r)

Passo 4

Calculamos cada parte:
  • (raiz2)^10=(2^1/2)^10=2^5=32.
  • 10cdottfracpi4=tfrac10pi4=tfrac5pi2=2pi+tfracpi2, que equivale ao ângulo tfracpi2.
    Logo, cos(5pi/2)=0 e sin(5pi/2)=1.

Passo 5

Portanto, substituindo essas simplificações:
(1+i)^10 = 32l(0 + icdot1r) = 32i

Resposta

32i

Exercícios relacionados