Determine Arg(z), arg (z) e a forma polar do número complexo z abaixo usando o argumento principal arg (z) : (d) z=i-2-2 i;

Passo 1

O problema pede para encontrar a parte argumental (multi-valorada e principal) e a forma polar do número complexo
z=i-2-2i. Vamos precisar usar divisão de complexos, cálculo de módulo e argumento.

Passo 2

Primeiro simplificamos z multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de -2-2i:
z=i-2-2icdot-2+2i-2+2i=i(-2+2i)(-2)^2-(2i)^2
No numerador temos i(-2+2i)=-2i+2i^2=-2i-2=-2-2i. No denominador,
(-2)^2-(2i)^2=4-(-4)=8
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z=-2+2i8=-14-i4

Passo 3

Da forma z=x+iy com x=-tfrac14 e y=-tfrac14, calculamos o módulo:
r=raizx^2+y^2=raizl(-tfrac14r)^2+l(-tfrac14r)^2=raiztfrac116+tfrac116=raiztfrac216=raiz24

Passo 4

Para o argumento principal, observamos que x<0 e y<0, então z está no terceiro quadrante. O ângulo de referência é
alpha=arctanl|tfracyxr|=arctan(1)=pi4
No terceiro quadrante theta=pi+alpha=pi+tfracpi4=tfrac5pi4, mas como o argumento principal deve estar em (-pi,pi], subtraímos 2pi e obtemos
arg(z)=-3pi4

Passo 5

A parte multi-valorada do argumento é então
Arg(z)=arg(z)+2kpi=-3pi4+2kpi, kinZ

Passo 6

Finalmente, escrevemos a forma polar usando o argumento principal e o módulo:
z=raiz24l(cosl(-tfrac3pi4r)+isinl(-tfrac3pi4r)r)

Resposta

Arg(z)=-tfrac3pi4+2kpi, arg(z)=-tfrac3pi4, z=tfracraiz24l(cos(-tfrac3pi4)+isin(-tfrac3pi4)r).

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