Calcule as potências abaixo nos casos em que c vale -3 , -2,-1,0,1,2 e 3.
2^{c}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule 2^{c} para cada um dos valores de c na lista c\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}. Ou seja, quero encontrar o número que resulta de elevar 2 à potência indicada por cada um desses inteiros.
Dados relevantes:
  • A base é 2.
  • Os expoentes são os inteiros -3,-2,-1,0,1,2,3.
  • Preciso fornecer o valor numérico de 2^{c} para cada caso.

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) o que significa elevar um número inteiro positivo à potência de um inteiro:
  • Se n é um inteiro positivo, então 2^{n} significa multiplicar 2 por si mesmo n vezes. Exemplo: 2^{3}=2\cdot2\cdot2.
  • A potência com expoente zero é definida por convenção e propriedades das potências: 2^{0}=1. Vou explicar por quê no próximo passo.
  • Para expoentes negativos usa-se a relação que vem das propriedades das potências: se m é inteiro, então
2^{m}\cdot 2^{n}=2^{m+n}.
A partir daí segue que 2^{n} com n<0 é o inverso multiplicativo de 2^{-n}: 2^{-n}=\dfrac{1}{2^{n}}. Vou detalhar isso já já.

Passo 3

Justificando 2^{0}=1 de maneira simples e lógica:
  • Pela propriedade 2^{a}\cdot 2^{b}=2^{a+b}, se eu escolher a=0 e b=0 obtenho 2^{0}\cdot 2^{0}=2^{0+0}=2^{0}.
  • Mais útil: escolha a=1 e b=-1. Então 2^{1}\cdot 2^{-1}=2^{1+(-1)}=2^{0}. Sabendo que 2^{1}=2, isso dá 2\cdot 2^{-1}=2^{0}. Para que essa igualdade seja coerente com a noção de inverso multiplicativo, deve ocorrer 2^{-1}=\dfrac{1}{2} e então 2^{0}=1.
  • Uma visão mais direta: para reduzir o expoente por 1 você divide por 2: 2^{n-1}=\dfrac{2^{n}}{2}. Aplicando isso até chegar em 2^{0} leva a 2^{0}=1.
Portanto, de forma consistente com as regras, temos 2^{0}=1.

Passo 4

Explicando expoentes negativos de forma prática:
  • Pela propriedade 2^{m}/2^{n}=2^{m-n}, se eu quiser que m-n= -k (ou seja, um expoente negativo), posso escrever
2^{-k}=\frac{2^{0}}{2^{k}}=\frac{1}{2^{k}}.
  • Em palavras simples: elevar à potência negativa significa pegar o inverso da potência positiva correspondente. Assim 2^{-1}=\dfrac{1}{2^{1}}=\dfrac{1}{2}, 2^{-2}=\dfrac{1}{2^{2}}=\dfrac{1}{4}, etc.

Passo 5

Agora calculo passo a passo cada valor pedido, mostrando como obter sem pular etapas.
Para c=1:
  • Definição direta: 2^{1}=2.
Para c=2:
  • Multiplicação sucessiva: 2^{2}=2\cdot2=4.
Para c=3:
  • Multiplicação sucessiva: 2^{3}=2\cdot2\cdot2=8.
Para c=0:
  • Pelo argumento do passo 3: 2^{0}=1.
Para c=-1:
  • Usando expoente negativo: 2^{-1}=\dfrac{1}{2^{1}}=\dfrac{1}{2}.
Para c=-2:
  • Usando expoente negativo: 2^{-2}=\dfrac{1}{2^{2}}=\dfrac{1}{4}.
Para c=-3:
  • Usando expoente negativo: 2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}.

Passo 6

Resumo rápido das interpretações (uma última checagem mental que ajuda na prova):
  • Expoentes positivos: multiplicar a base repetidas vezes.
  • Expoente zero: resultado 1.
  • Expoentes negativos: inverso da potência com expoente positivo correspondente.

Resposta

Para c=-3: 2^{-3}=\dfrac{1}{8}
Para c=-2: 2^{-2}=\dfrac{1}{4}
Para c=-1: 2^{-1}=\dfrac{1}{2}
Para c=0: 2^{0}=1
Para c=1: 2^{1}=2
Para c=2: 2^{2}=4
Para c=3: 2^{3}=8

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