Calcule as potências:
\left(\frac{3}{2}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência \left(\frac{3}{2}\right)^{4}.
Informações dadas: a base é \frac{3}{2} (uma fração) e o expoente é o inteiro positivo 4. Não há outras condições.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa um expoente inteiro positivo. Para qualquer número a e inteiro positivo n, \(a^n) significa multiplicar a por si mesmo n vezes. Aplicando isso aqui:
\left(\frac{3}{2}\right)^{4}=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}.

Passo 3

Regra prática para multiplicar frações: ao multiplicar várias frações, multiplicamos todos os numeradores entre si e todos os denominadores entre si. Portanto:
\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}.

Passo 4

Existe uma propriedade de potências que simplifica isso: para a,b reais e inteiro n\ge 0,
\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}.
Aqui podemos aplicar diretamente com a=3, b=2 e n=4:
\left(\frac{3}{2}\right)^{4}=\frac{3^{4}}{2^{4}}.

Passo 5

Vamos calcular 3^{4} e 2^{4} passo a passo (sem pular etapas):
3^1=3,\quad 3^2=3\cdot3=9,\quad 3^3=9\cdot3=27,\quad 3^4=27\cdot3=81.
2^1=2,\quad 2^2=2\cdot2=4,\quad 2^3=4\cdot2=8,\quad 2^4=8\cdot2=16.

Passo 6

Substituindo os valores obtidos:
\left(\frac{3}{2}\right)^{4}=\frac{3^{4}}{2^{4}}=\frac{81}{16}.

Passo 7

Verificação final: verificar se a fração \frac{81}{16} pode ser simplificada. O máximo divisor comum de 81 e 16 é 1 (porque 16 é potência de 2 e 81=3^4 é potência de 3), então a fração já está irredutível.

Passo 8

(Dica rápida para a prova) Outra forma curta: calcule primeiro \left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4} e depois eleve ao quadrado de novo: \left(\frac{9}{4}\right)^2=\frac{81}{16}. Isso às vezes é mais rápido mentalmente.

Resposta

\frac{81}{16}

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