Calcule o pH para precipitação quantitativa de \mathrm{Cu}^{2+} na forma de CuS , em uma solução de \mathrm{H}_{2} \mathrm{~S}\left(0,1 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}\right), se a concentração inicial de \mathrm{Cu}^{2+} é
1 \times 10^{-9} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o valor de pH a partir do qual ocorre precipitação quantitativa de \mathrm{Cu}^{2+} como \mathrm{CuS} numa solução contendo \mathrm{H}_{2}\mathrm{S} de concentração \,0,1\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}, sabendo que a concentração inicial de \mathrm{Cu}^{2+} é \,1\times10^{-9}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.\n
Dados fornecidos:
[\mathrm{H_2S}]_{\text{total}} = 0,1\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[\mathrm{Cu^{2+}}]_{\text{inicial}} = 1\times10^{-9}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
O objetivo concreto: achar o pH tal que a concentração de \mathrm{S^{2-}} disponível pela dissociação de \mathrm{H_2S} seja suficiente para precipitar \mathrm{Cu^{2+}} na forma \mathrm{CuS}.

Passo 2

Relembrando as equilibria ácido-base de \mathrm{H_2S} e como obter [\mathrm{S^{2-}}] em função de [\mathrm{H^+}].\n
As duas dissociações são:
\mathrm{H_2S} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{HS^-},\qquad K_{a1}=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{HS^-}]}{[\mathrm{H_2S}]}
\mathrm{HS^-} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{S^{2-}},\qquad K_{a2}=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{S^{2-}}]}{[\mathrm{HS^-}]}
Multiplicando as duas expressões:
K_{a1}K_{a2}=\frac{[\mathrm{H^+}]^2[\mathrm{S^{2-}}]}{[\mathrm{H_2S}]}
Isolando [\mathrm{S^{2-}}] obtemos a relação útil:
[\mathrm{S^{2-}}]=\frac{K_{a1}K_{a2}[\mathrm{H_2S}]}{[\mathrm{H^+}]^2}
Explicação curta: isso vem de substituir [\mathrm{HS^-}] da primeira equação na segunda; a forma mostra que a concentração de \mathrm{S^{2-}} cresce quando [\mathrm{H^+}] diminui (ou seja, em pH mais elevado).

Passo 3

Equilíbrio de solubilidade do \mathrm{CuS} e valores numéricos adotados.\n
Para \mathrm{CuS} a reação de solubilização é
\mathrm{CuS(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Cu^{2+}} + \mathrm{S^{2-}}
e o produto de solubilidade é
K_{sp}(\mathrm{CuS})=[\mathrm{Cu^{2+}}][\mathrm{S^{2-}}]
Como o enunciado não dá constantes, uso valores típicos da literatura (explícitos para evitar ambiguidade):
K_{a1}(\mathrm{H_2S}) = 1{,}0\times10^{-7},\quad K_{a2}(\mathrm{H_2S}) = 1{,}0\times10^{-19}
K_{sp}(\mathrm{CuS}) \approx 8{,}0\times10^{-37}
Comentário: são valores usuais aproximados; o resultado final depende fracionariamente desses números, mas estes são suficientemente padrão para a resolução.

Passo 4

Condição para início (limiar) de precipitação quantitativa e resolução algébrica.\n
Para que ocorra precipitação de \mathrm{CuS} quando a concentração de \mathrm{Cu^{2+}} é [\mathrm{Cu^{2+}}]_{\text{inicial}}, a concentração de \mathrm{S^{2-}} presente deve ser ao menos tal que
[\mathrm{Cu^{2+}}]_{\text{inicial}}\cdot[\mathrm{S^{2-}}] = K_{sp}
ou seja o limiar é
[\mathrm{S^{2-}}]_{\text{lim}}=\frac{K_{sp}}{[\mathrm{Cu^{2+}}]_{\text{inicial}}}
Substituindo a expressão de [\mathrm{S^{2-}}] em função de [\mathrm{H^+}] (do Passo 2) e igualando ao limiar:
\frac{K_{a1}K_{a2}[\mathrm{H_2S}]}{[\mathrm{H^+}]^2}=\frac{K_{sp}}{[\mathrm{Cu^{2+}}]_{\text{inicial}}}
Isolando [\mathrm{H^+}]^2:
[\mathrm{H^+}]^2=\frac{K_{a1}K_{a2}[\mathrm{H_2S}]\,[\mathrm{Cu^{2+}}]_{\text{inicial}}}{K_{sp}}
Agora substituímos os valores numéricos:
K_{a1}K_{a2}[\mathrm{H_2S}]=(1{,}0\times10^{-7})(1{,}0\times10^{-19})(0{,}1)=1{,}0\times10^{-27}
\text{numerador total}=1{,}0\times10^{-27}\times(1\times10^{-9})=1{,}0\times10^{-36}
[\mathrm{H^+}]^2=\frac{1{,}0\times10^{-36}}{8{,}0\times10^{-37}}=\frac{1{,}0}{8{,}0}\times10^{1}=1{,}25
Portanto
[\mathrm{H^+}]=\sqrt{1{,}25}\approx1{,}118\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
e o pH é
\mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H^+}]\approx -\log_{10}(1{,}118)\approx -0{,}05

Passo 5

Interpretação final e comentário prático.\n
O pH calculado \mathrm{pH}\approx-0{,}05 é o limite: para pH maiores (menos ácidos) haverá [\mathrm{S^{2-}}] maior que o limiar e, portanto, precipitação quantitativa de \mathrm{Cu^{2+}} como \mathrm{CuS}. Em termos práticos isto quer dizer que virtualmente em qualquer pH comum (pH neutro ou alcalino, ou mesmo levemente ácido) a precipitação ocorrerá, já que o valor limite é muito ácido (pH negativo). Isso decorre do K_{sp} extremamente pequeno de \mathrm{CuS} e do pequeno produto K_{a1}K_{a2} mas ainda suficiente para produzir traços de \mathrm{S^{2-}} que reagem com \mathrm{Cu^{2+}}.

Resposta

\mathrm{pH}\approx-0,05

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