Calcule com precisão de 4 casas decimais, o valor de integral0^12 d x1+x^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de $ \frac{1}{1+x^{5}} $ de 0 até $ \frac{1}{2} $. Esse tipo de problema cai no estudo do cálculo integral, especificamente na avaliação de integrais que não possuem uma antiderivada simples. Para resolver isso, vamos usar um método numérico de aproximação, como a Regra dos Trapézios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra dos Trapézios. Ela é uma técnica para aproximar o valor de integrais definidas dividindo a área sob a curva em trapézios e somando suas áreas. Quanto mais trapézios usarmos, mais precisa será a aproximação.

Passo 3

Vamos escolher o número de subintervalos $ n $. Quanto maior for o $ n $, mais precisa será a aproximação. Para nosso caso, vamos usar $ n = 4 $ subintervalos para um bom equilíbrio entre simplicidade e precisão.

Passo 4

Calculamos a largura de cada subintervalo $ h $ usando a fórmula:
h
Onde $ a = 0 $ e $ b = \frac{1}{2} $:
h = b - an

Passo 5

Determina-se os pontos $ x_i $ onde vamos avaliar a função:
xi
x0 = 0
x1 = 0 + h = 0.125
x2 = 0.125 + h = 0.250
x3 = 0.250 + h = 0.375

Passo 6

Avaliamos a função $ f(x) = \frac{1}{1+x^{5}} $ em cada $ x_i $:
f(x) = 11+x^5
xi
f(x0) = 11+0^5 = 1
f(x1) = 11+(0.125)^5 approx 0.99952
f(x2) = 11+(0.250)^5 approx 0.99968

Passo 7

Aplicamos a Regra dos Trapézios:
integrala^b f(x) dx approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4) ]
Substituindo os valores:
approx 0.1252 [ 1 + 2(0.99952) + 2(0.99968) + 2(0.99989) + 0.96875 ]

Passo 8

Calculando dentro dos colchetes:
1 + 2(0.99952) + 2(0.99968) + 2(0.99989) + 0.96875
= 1 + 1.99904 + 1.99936 + 1.99978 + 0.96875
= 8.966

Passo 9

Multiplicamos pelo $ \frac{h}{2} $:
h2
0.1252 times 8.966
= 0.0625 times 8.966

Resposta

O valor aproximado da integral $ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{1+x^{5}} $ com 4 casas decimais é 0.5604.

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