Calcule com precisão de três casas decimais o valor da integral dada, usando séries.
integral0^1 / 2 d x1+x^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^1/2dx1+x^3 usando séries de potências. O conteúdo principal é a expansão de 1/(1+u) em série geométrica e integração termo a termo.

Passo 2

Começamos usando a série geométrica para |u|<1:
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n
Aqui tomamos u=x^3, válido para |x|<1, logo
11+x^3=sumn=0^infty(-1)^n x^3n

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 a 1/2. Para cada n:
integral0^1/2x^3n,dx=[x^3n+13n+1]0^1/2=(1/2)^3n+13n+1
Então
integral0^1/2dx1+x^3= sumn=0^infty(-1)^n(1/2)^3n+13n+1

Passo 4

Para controlar o erro na soma parcial, notamos que essa é uma série alternada com termos cujo módulo Tn=(1/2)^3n+13n+1 decresce para n crescente. O resto após N termos em série alternada é menor em módulo que o próximo termo TN+1. Queremos erro menor que 0.5times10^-3=5times10^-4. Testando N=2:
T3=(1/2)^1010=110cdot12^10=110240approx9.8times10^-5<5times10^-4
Então basta somar até n=2.

Passo 5

Calculamos os três primeiros termos:
T0=(1/2)^11=0.5,
T1=-(1/2)^44=-164=-0.015625,
T2=(1/2)^77=17cdot1128=1896approx0.00111607
Somando:
S2=T0+T1+T2=0.5-0.015625+0.00111607approx0.48549107

Passo 6

Como o erro é menor que 0.0001, a aproximação com três casas decimais é
0.485.

Resposta

0.485

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