Calcule com precisão de três casas decimais o valor da integral dada, usando séries.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando séries de potências. O conteúdo principal é a expansão de
em série geométrica e integração termo a termo.
Passo 2
Começamos usando a série geométrica para
:
Aqui tomamos
, válido para
, logo
Passo 3
Agora integramos termo a termo de 0 a 1/2. Para cada
:
Então
Passo 4
Para controlar o erro na soma parcial, notamos que essa é uma série alternada com termos cujo módulo
decresce para
crescente. O resto após
termos em série alternada é menor em módulo que o próximo termo
. Queremos erro menor que
. Testando
:
Então basta somar até
.
Passo 5
Calculamos os três primeiros termos:
Somando:
Passo 6
Como o erro é menor que
, a aproximação com três casas decimais é
Resposta
0.485