Determine a derivada direcional da função f no ponto P na direção do vetor v :
f(x, y)=x e^-2 y, P=(5,0), v=(0,2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x e^-2y no ponto P=(5,0) na direção do vetor vec v=(0,2). O conteúdo envolvido é derivada direcional, que usa o gradiente de f e o vetor unitário na direção de vec v.

Passo 2

Para encontrar o gradiente, lembramos que ele é o vetor das derivadas parciais:
nabla f(x,y)=(partial fpartial x,,partial fpartial y)
Calculando cada parcial temos:
partial fpartial x=e^-2y,
partial fpartial y=xcdot(-2)e^-2y=-2x e^-2y

Passo 3

Para obter o vetor unitário u na direção de vec v=(0,2), primeiro calculamos o módulo de vec v:
|vec v|=raiz0^2+2^2=2
Depois normalizamos:
u=vec v|vec v|=l(0,1r)

Passo 4

Agora avaliamos o gradiente em P=(5,0). Como e^-2cdot0=1, temos:
nabla f(5,0)=l(e^0,,-2cdot5,e^0r)=(1,-10)
Em seguida, aplicamos a definição da derivada direcional:
Duf(P)=nabla f(P)cdot u
Fazendo o produto escalar:
Duf(5,0)=(1,-10)cdot(0,1)=1cdot0+(-10)cdot1=-10

Resposta

-10

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