Use a Regra da Cadeia para determinar d vd t :
v=z^3-x^2 y, com x=e^t^2, y=e^-2 t e z=ln (t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular dvdt usando a regra da cadeia, onde v = z^3 - x^2 y e as variáveis dependem de t via x = e^t^2, y = e^-2t e z = ln(t). Vamos usar derivadas parciais de v em relação a x,y,z e as derivadas de x,y,z em relação a t.

Passo 2

Pela regra da cadeia para função de três variáveis temos: dvdt = partial vpartial xdxdt + partial vpartial ydydt + partial vpartial zdzdt

Passo 3

As derivadas parciais são: partial vpartial x = -2xy, partial vpartial y = -x^2 e partial vpartial z = 3z^2.

Passo 4

As derivadas das funções em relação a t são: dxdt = 2t e^t^2, dydt = -2 e^-2t e dzdt = 1t.

Passo 5

Substituindo partial v/partial x, partial v/partial y, partial v/partial z e dx/dt, dy/dt, dz/dt na expressão da regra da cadeia e reunindo termos semelhantes, chegamos ao resultado.

Resposta

dvdt = 3(ln t)^2t -4t,e^2t^2 - 2t + 2,e^2t^2 - 2t

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