Calcule com precisão de três casas decimais o valor da integral dada, usando séries.
integral0^1 / 2 tan ^-1 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de I=integral0^1/2tan^-1(x^2),dx com precisão de três casas decimais, usando séries. O conteúdo envolve expansão em série de Taylor de arctan(z) e integração termo a termo.

Passo 2

Recordamos que, para |z|<=1, vale a série de Taylor:
arctan(z)=sumn=0^infty(-1)^nz^2n+12n+1

Passo 3

Substituindo z=x^2 obtemos em bloco:
arctan(x^2)=sumn=0^infty(-1)^nx^4n+22n+1

Passo 4

Agora integramos termo a termo (válido por convergência uniforme em [0,1/2]) para achar I:
I=integral0^1/2arctan(x^2),dx =sumn=0^infty(-1)^n12n+1integral0^1/2x^4n+2,dx =sumn=0^infty(-1)^n(1/2)^4n+3(2n+1)(4n+3)

Passo 5

Calculamos os primeiros termos até garantir erro menor que 0,5times10^-3:
Para n=0:
T0=(1/2)^31cdot3=1/83=0,0416667

Passo 6

Para n=1:
T1=-(1/2)^73cdot7=-1/12821approx-0,0003720

Passo 7

Para n=2:
T2=(1/2)^115cdot11=1/204855approx0,0000089

Passo 8

Como |T2|approx8,9times10^-6<0,0005, basta somar até n=1 para garantir três casas decimais. A soma parcial é
S1=T0+T1approx0,0416667-0,0003720=0,0412947

Passo 9

Incluindo T2 e T3 a soma se estabiliza em approx0,0413032, o que confirma que a aproximação é 0,0413 antes do arredondamento final.

Resposta

0,041

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