Calcule com precisão de três casas decimais o valor da integral dada, usando séries.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
com precisão de três casas decimais, usando séries. O conteúdo envolve expansão em série de Taylor de
e integração termo a termo.
Passo 2
Recordamos que, para
, vale a série de Taylor:
Passo 3
Substituindo
obtemos em bloco:
Passo 4
Agora integramos termo a termo (válido por convergência uniforme em
) para achar
:
Passo 5
Calculamos os primeiros termos até garantir erro menor que
:
Para :
Para
Passo 6
Para
:
Passo 7
Para
:
Passo 8
Como
<0,0005, basta somar até
para garantir três casas decimais. A soma parcial é
Passo 9
Incluindo
e
a soma se estabiliza em
, o que confirma que a aproximação é
antes do arredondamento final.
Resposta
0,041