Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
f(x, y)=x^2+3 x y+3 y^2-6 x+3 y-6

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de uma função de duas variáveis e classificá-los em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar derivadas parciais para encontrar esses pontos e depois a matriz Hessiana para classificar.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeiro ordem de f(x,y)=x^2+3xy+3y^2-6x+3y-6. Temos:
fx=partial fpartial x=2x+3y-6,
fy=partial fpartial y=3x+6y+3

Passo 3

Igualar fx e fy a zero e resolver o sistema:
2x+3y-6=0,3x+6y+3=0
Multiplicando a primeira por 2 e subtraindo da segunda encontramos x=15. Substituindo em 2x+3y=6 vem 30+3y=6 e então y=-8.

Passo 4

Construir a matriz Hessiana, cujos elementos são as segundas derivadas:
H=fxx&fxyfyx&fyy=2&33&6
Calcular os principais menores: D1=2>0 e D2=det H=2cdot6-3cdot3=3>0. Como ambos são positivos, a Hessiana é definida positiva.

Passo 5

Conclusão: há um único ponto crítico em (15,-8) e, pela Hessiana definida positiva, esse ponto é um mínimo local. Não existem máximos locais nem pontos de sela.
Opcionalmente, avaliamos o valor mínimo:
f(15,-8)=15^2+3cdot15(-8)+3(-8)^2-6cdot15+3(-8)-6=-63

Resposta

Mínimo local em (15,−8) com f(15,−8)=−63. Não há máximos locais nem pontos de sela.

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