Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de uma função de duas variáveis e classificá-los em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar derivadas parciais para encontrar esses pontos e depois a matriz Hessiana para classificar.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeiro ordem de
. Temos:
Passo 3
Igualar
e
a zero e resolver o sistema:
Multiplicando a primeira por 2 e subtraindo da segunda encontramos
Passo 4
Construir a matriz Hessiana, cujos elementos são as segundas derivadas:
Calcular os principais menores:
Passo 5
Conclusão: há um único ponto crítico em
e, pela Hessiana definida positiva, esse ponto é um mínimo local. Não existem máximos locais nem pontos de sela.
Opcionalmente, avaliamos o valor mínimo:
Opcionalmente, avaliamos o valor mínimo:
Resposta
Mínimo local em (15,−8) com f(15,−8)=−63. Não há máximos locais nem pontos de sela.