Com uma chapa retangular de alumínio de
, deseja-se construir uma caixa retangular sem tampa com maior volume possível. Determine as dimensões e o volume dessa caixa.
Passo 1
A gente tem uma chapa de alumínio com área fixa de 144 m² e quer montar uma caixa retangular aberta (sem tampa) que maximize o volume. O conteúdo envolvido é otimização com restrição (usando multiplicadores de Lagrange ou eliminando variáveis via a condição de área) e vamos precisar relacionar o volume
com a área usada
.
Passo 2
Definimos as variáveis:
e
são as dimensões da base e
a altura. O volume é
e a restrição de material (área da chapa) é
Passo 3
Montamos a função de Lagrange
Passo 4
As condições de otimalidade são
Passo 5
Das duas primeiras equações obtemos
ou seja, a base é quadrada. Chamando
Passo 6
Substituindo na restrição
temos
Passo 7
O volume ótimo fica
Resposta
A caixa de maior volume tem base quadrada de lado
, altura
e volume
(aprox. 166,28 m³).