Com uma chapa retangular de alumínio de 144 m^2, deseja-se construir uma caixa retangular sem tampa com maior volume possível. Determine as dimensões e o volume dessa caixa.

Passo 1

A gente tem uma chapa de alumínio com área fixa de 144 m² e quer montar uma caixa retangular aberta (sem tampa) que maximize o volume. O conteúdo envolvido é otimização com restrição (usando multiplicadores de Lagrange ou eliminando variáveis via a condição de área) e vamos precisar relacionar o volume V=LWh com a área usada A=LW+2Lh+2Wh=144.

Passo 2

Definimos as variáveis: L e W são as dimensões da base e h a altura. O volume é
V(L,W,h)=L,W,h
e a restrição de material (área da chapa) é
g(L,W,h)=LW+2Lh+2Wh-144=0

Passo 3

Montamos a função de Lagrange
L(L,W,h,lambda)=LWh-lambdal(LW+2Lh+2Wh-144r)

Passo 4

As condições de otimalidade são
partialLpartial L=Wh-lambda,(W+2h)=0,
partialLpartial W=Lh-lambda,(L+2h)=0,
partialLpartial h=LW-lambda,2(L+W)=0

Passo 5

Das duas primeiras equações obtemos
WhW+2h=LhL+2h Longrightarrow W=L,
ou seja, a base é quadrada. Chamando s=L=W, a terceira equação dá s^2=4slambda e das primeiras lambda=s/4=s h/(s+2h), o que leva a h=s/2.

Passo 6

Substituindo na restrição s^2+4s,h=144 temos
s^2+4ss2=s^2+2s^2=3s^2=144 Longrightarrow s^2=48 Longrightarrow s=4raiz3, h=2raiz3

Passo 7

O volume ótimo fica
V=s^2h=48times2raiz3=96raiz3approx166,28 m^3

Resposta

A caixa de maior volume tem base quadrada de lado 4raiz3,m, altura 2raiz3,m e volume 96raiz3,m^3 (aprox. 166,28 m³).

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