Calcule as pressões nas quais o livre percurso médio de uma molécula de H2 será igual a 100 mu m, 1,0 mm e 1 m a 20^circ C. Comente os resultados. Resp: 124 Pa=1,24 times 10^-3 bar; 12,4 Pa=1,24 times 10^-4 bar ; 0,0124 Pa=1,24 times 10^-7 bar

Passo 1

O enunciado pede as pressões para as quais o livre percurso médio lambda de uma molécula de H2 vale 100 mum, 1,0 mm e 1 m a 20^circC. O conteúdo usado será a teoria cinética dos gases, especificamente a relação entre lambda, temperatura T, diâmetro molecular d e pressão p. Para H2 tomaremos o diâmetro de colisão típico d=2,7times10^-10,m.

Passo 2

Da teoria cinética sabemos que
lambda = kB,Traiz2,pi,d^2,p,
onde kB é a constante de Boltzmann. Invertendo para p temos
p = kB,Traiz2,pi,d^2,lambda

Passo 3

Em T=20^circC=293 K e usando kB=1,3806times10^-23 J/K e d=2,7times10^-10 m, calculamos primeiro
kB,T = 1,3806times10^-23cdot293 = 4,045times10^-21 J,
e a parte fixa do denominador
raiz2,pi,d^2 = 1,4142cdotpicdot(2,7times10^-10)^2 = 1,4142cdotpicdot7,29times10^-20 approx 3,24times10^-19 m^2

Passo 4

Agora aplicamos para cada lambda:
  1. lambda=100 mu m=1,00times10^-4 m
p = 4,045times10^-213,24times10^-19cdot1,00times10^-4 = 4,045times10^-213,24times10^-23 approx 1,25times10^2 Pa
Convertendo para bar ( 1 bar=10^5 Pa) dá
papprox1,25times10^-3 bar
  1. lambda=1,0 mm=1,00times10^-3 m
p = 4,045times10^-213,24times10^-19cdot1,00times10^-3 approx1,25times10^1 Pa =1,25times10^-4 bar
  1. lambda=1 m
p = 4,045times10^-213,24times10^-19cdot1 approx1,25times10^-2 Pa =1,25times10^-7 bar

Passo 5

Os resultados mostram que, para livre percurso médio tão grande, precisamos de pressões muito baixas: começar na faixa de 10^2 Pa (vácuo parcial) e cair até 10^-2 Pa (alto vácuo). Em laboratório, lambda de ordem de milímetros ou metros só ocorre em sistemas de alto vácuo, onde as moléculas quase não colidem entre si (regime de fluxo molecular).

Resposta

Para lambda=100 mu m:
papprox124 Pa=1,24times10^-3 bar
Para lambda=1,0 mm:
papprox12,4 Pa=1,24times10^-4 bar
Para lambda=1 m:
papprox0,0124 Pa=1,24times10^-7 bar

Exercícios relacionados