Calcule f^prime(x), para cada uma das funções f(x) dadas abaixo, cumprindo as seguintes etapas
a) f(x)=17-6 x
b) f(x)=7 x^2-5
c) f(x)=x^3+2 x
d) f(x)=raizx
e) f(x)=1x+5
f) f(x)=x^5
g) f(x)=6x^2
ii. Primeiro desenvolva a expressão De, fazendo as simplificações cabíveis.
iii. Em seguida obtenha, uma expressão simplificada para De.
i. Finalmente, calcule o limite lim De.

Passo 1

Beleza, galera! Hoje vamos calcular a derivada $ f’(x) $ de várias funções diferentes. A derivada basicamente nos diz a taxa de variação de uma função em relação a $ x $. Para isso, vamos usar a definição de derivada através do limite:
f'(x)
Vamos fazer isso para cada função listada de (a) a (g).

a) $ f(x) = 17 - 6x $

Passo 2

Primeiro, vamos desenvolver a expressão $ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) $.
Calculando $ f(x + \Delta x) $:
De
Agora, subtraindo $ f(x) $:
f(x + De

Passo 3

Agora, vamos simplificar $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $:
De

Passo 4

Finalmente, calculamos o limite quando $ \Delta x $ tende a 0:
De

Passo 5

Vamos desenvolver $ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) $.
Calculando $ f(x + \Delta x) $:
De
Subtraindo $ f(x) $:
f(x + De

Passo 6

Simplificando $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $:
De

Passo 7

Calculando o limite:
f'(x) = limDe

Passo 8

Desenvolvendo $ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) $:
De
Subtraindo $ f(x) $:
f(x + De

Passo 9

Simplificando $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $:
De

Passo 10

Calculando o limite:
f'(x) = limDe

Passo 11

Vamos desenvolver $ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) $:
De
f(x + De
Para simplificar, multiplicamos e dividimos pela conjugada:
De

Passo 12

Simplificando $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $:
De

Passo 13

Calculando o limite:
f'(x) = limDe

Passo 14

Desenvolvendo $ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) $:
De
f(x + De
Simplificando:
De

Passo 15

Simplificando $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $:
De

Passo 16

Calculando o limite:
f'(x) = limDe

Passo 17

Desenvolvendo $ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) $:
De
Usando a expansão binomial:
f(x + De
(x + De

Passo 18

Simplificando $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $:
De

Passo 19

Calculando o limite:
f'(x) = limDe

Passo 20

Desenvolvendo $ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) $:
De
f(x + De
Simplificando:
De
De
x^2 - (x + De

Passo 21

Simplificando $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $:
De

Passo 22

Calculando o limite:
f'(x) = limDe

Resposta

As derivadas das funções são:
a) $ f’(x) = -6 $
b) $ f’(x) = 14x $
c) $ f’(x) = 3x^{2} + 2 $
d) $ f’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
e) $ f’(x) = -\frac{1}{(x + 5)^2} $
f) $ f’(x) = 5x^{4} $
g) $ f’(x) = -\frac{12}{x^{3}} $

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