Calcule
, para cada uma das funções
dadas abaixo, cumprindo as seguintes etapas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
ii. Primeiro desenvolva a expressão
, fazendo as simplificações cabíveis.
iii. Em seguida obtenha, uma expressão simplificada para
.
i. Finalmente, calcule o limite
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
ii. Primeiro desenvolva a expressão
iii. Em seguida obtenha, uma expressão simplificada para
i. Finalmente, calcule o limite
Passo 1
Beleza, galera! Hoje vamos calcular a derivada $ f’(x) $ de várias funções diferentes. A derivada basicamente nos diz a taxa de variação de uma função em relação a $ x $. Para isso, vamos usar a definição de derivada através do limite:
Vamos fazer isso para cada função listada de (a) a (g).
a) $ f(x) = 17 - 6x $
Passo 2
Primeiro, vamos desenvolver a expressão $ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) $.
Calculando $ f(x + \Delta x) $:
Agora, subtraindo $ f(x) $:
Passo 3
Agora, vamos simplificar $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $:
Passo 4
Finalmente, calculamos o limite quando $ \Delta x $ tende a 0:
Passo 5
Vamos desenvolver $ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) $.
Calculando $ f(x + \Delta x) $:
Subtraindo $ f(x) $:
Passo 6
Simplificando $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $:
Passo 7
Calculando o limite:
Passo 8
Desenvolvendo $ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) $:
Subtraindo $ f(x) $:
Passo 9
Simplificando $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $:
Passo 10
Calculando o limite:
Passo 11
Vamos desenvolver $ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) $:
Para simplificar, multiplicamos e dividimos pela conjugada:
Passo 12
Simplificando $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $:
Passo 13
Calculando o limite:
Passo 14
Desenvolvendo $ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) $:
Simplificando:
Passo 15
Simplificando $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $:
Passo 16
Calculando o limite:
Passo 17
Desenvolvendo $ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) $:
Usando a expansão binomial:
Passo 18
Simplificando $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $:
Passo 19
Calculando o limite:
Passo 20
Desenvolvendo $ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) $:
Simplificando:
Passo 21
Simplificando $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $:
Passo 22
Calculando o limite:
Resposta
As derivadas das funções são:
a) $ f’(x) = -6 $
b) $ f’(x) = 14x $
c) $ f’(x) = 3x^{2} + 2 $
d) $ f’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
e) $ f’(x) = -\frac{1}{(x + 5)^2} $
f) $ f’(x) = 5x^{4} $
g) $ f’(x) = -\frac{12}{x^{3}} $