Calcule y^prime, calculando ln y, expandindo o segundo membro, utilizando propriedades de logaritmos, e então derivando implicitamente em relação a chi.
y=raiz[3]x(x^2+1)(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = raiz[3]x,(x^2+1)(x-1)^2
usando logaritmos e derivação implícita em relação a x. O conteúdo principal é log-diferenciação: primeiro vamos calcular ln y, expandir com as propriedades de logaritmos e depois derivar para achar y'.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = lnl[l(tfracx,(x^2+1)(x-1)^2r)^1/3r]

Passo 3

Usando ln(a^1/3)=tfrac13ln a e ln(tfracAB)=ln A-ln B, obtemos
ln y = tfrac13l[lnl(x,(x^2+1)r)-lnl((x-1)^2r)r] = tfrac13l[ln x + ln(x^2+1) - 2ln(x-1)r]

Passo 4

Agora derivamos implicitamente em relação a x. Pela regra da cadeia,
y'y = tfrac13l[ddx(ln x)+ddx(ln(x^2+1))-ddx(2ln(x-1))r]
Como ddx(ln x)=tfrac1x, ddx(ln(x^2+1))=tfrac2xx^2+1 e ddx(ln(x-1))=tfrac1x-1, resulta
y'y = tfrac13l[tfrac1x + tfrac2xx^2+1 - tfrac2x-1r]

Passo 5

Isolando y' e substituindo y de volta:
y' = y;13l[tfrac1x + tfrac2xx^2+1 - tfrac2x-1r] = 13,raiz[3]x,(x^2+1)(x-1)^2;l[tfrac1x + tfrac2xx^2+1 - tfrac2x-1r]

Resposta

y' = 13,raiz[3]x,(x^2+1)(x-1)^2,l(1x + 2xx^2+1 - 2x-1r)

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