Encontre a derivada da função.
h(t)=(t+1)^2 / 3(2 t^2-1)^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(t) = (t+1)^23,(2t^2 - 1)^3
Aqui vamos usar a regra do produto (pois é um produto de duas funções) e a regra da cadeia (pois cada fator é uma potência de uma função composta).

Passo 2

Definimos
u(t) = (t+1)^23, v(t) = (2t^2 - 1)^3
Então h(t)=u(t),v(t).

Passo 3

Derivada de u(t) aplicando a potência e a cadeia:
u'(t) = 23,(t+1)^23-1 = 23,(t+1)^-13

Passo 4

Derivada de v(t) aplicando a potência e a cadeia:
v'(t) = 3,(2t^2 - 1)^2cdot ddt(2t^2 - 1) = 3,(2t^2 - 1)^2cdot 4t = 12t,(2t^2 - 1)^2

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
h'(t) = u'(t),v(t) + u(t),v'(t) = 23(t+1)^-13(2t^2 - 1)^3 + (t+1)^23;12t,(2t^2 - 1)^2

Passo 6

Para simplificar, fatoramos (t+1)^-13(2t^2 - 1)^2:
h'(t) = (t+1)^-13(2t^2 - 1)^2 l[tfrac23(2t^2 - 1) + 12t,(t+1)r]
No colchete fazemos
tfrac23(2t^2 - 1) + 12t(t+1) = 4t^2 - 23 + 12t^2 + 12t = 4t^2 - 2 + 36t^2 + 36t3 = 40t^2 + 36t - 23 = 2,(20t^2 + 18t - 1)3
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h'(t) = 23,(t+1)^-13(2t^2 - 1)^2,(20t^2 + 18t - 1)

Resposta

h'(t) = 23,(t+1)^-13,(2t^2 - 1)^2,(20t^2 + 18t - 1)

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