Calcule y^prime, calculando ln y, expandindo o segundo membro, utilizando propriedades de logaritmos, e então derivando implicitamente em relação a chi.
y=(x+1)^2(x+2)^3(x+3)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = (x+1)^2(x+2)^3(x+3)^4
usando logaritmos e derivação implícita. Vamos aplicar propriedades de logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
ln y = lnl((x+1)^2r) - lnl((x+2)^3(x+3)^4r)

Passo 3

Usamos as propriedades ln(a^k)=kln a e ln(tfracAB)=ln A-ln B:
ln y = 2ln(x+1) ;-;l[,3ln(x+2)+4ln(x+3)r] = 2ln(x+1) - 3ln(x+2) - 4ln(x+3)

Passo 4

Derivamos implicitamente em relação a x. Lembrando que ddxln y = y'y e ddxln(x+a)=1x+a:
y'y = 2cdot1x+1 - 3cdot1x+2 - 4cdot1x+3

Passo 5

Isolamos y' e substituímos y de volta:
y' = yl(2x+1 - 3x+2 - 4x+3r) = (x+1)^2(x+2)^3(x+3)^4 l(2x+1 - 3x+2 - 4x+3r)

Resposta

y' = (x+1)^2(x+2)^3(x+3)^4l(2x+1 - 3x+2 - 4x+3r)

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