Calcule y^prime, calculando ln y, expandindo o segundo membro, utilizando propriedades de logaritmos, e então derivando implicitamente em relação a chi.
y=x(1+x^2)raiz1-x^2

Passo 1

O enunciado dá a função
y = x,(1+x^2)raiz1 - x^2
e pede y' usando diferenciação logarítmica. Vamos primeiro calcular ln y aplicando propriedades de logaritmos, depois diferenciar implicitamente em relação a x e, por fim, voltar a expressar y' em função de x.

Passo 2

Tirando logaritmo de ambos os lados e usando
ln(ab)=ln a+ln b e ln(a^k)=kln a, temos
ln y = ln x + lnl(1+x^2r) - tfrac12,lnl(1 - x^2r)

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em x. De um lado
ddx(ln y) = y'y
Do outro lado, usando ddx(ln x)=1/x, ddxl(ln(1+x^2)r)=2x1+x^2 e
ddxl(ln(1 - x^2)r)=-2x1 - x^2, obtemos
y'y = 1x + 2x1+x^2 ;-;tfrac12!(-2x1 - x^2) = 1x + 2x1+x^2 + x1 - x^2

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por y,
y' = y!(1x + 2x1+x^2 + x1 - x^2)
Substituindo y=x(1+x^2)raiz1 - x^2 e simplificando termo a termo, chega-se a
y' = 1+3x^2-2x^4l(1 - x^2r)^3/2

Resposta

y' = 1 + 3x^2 - 2x^4l(1 - x^2r)^3/2

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