Encontre a derivada da função.
f(t)=sen^2(e^sen^2 t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=sin^2l(e^sin^2tr)
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada a composições de funções: primeiro a função quadrado, depois o seno, depois a exponencial e por fim o quadrado do seno.

Passo 2

Definimos
u(t)=e^sin^2t,
de modo que
f(t)=sin^2l(u(t)r)
Aplicando a derivada de g(u)=sin^2(u), temos
g'(u)=2sin(u)cos(u)
Logo,
dfdt =2sinl(u(t)r)cosl(u(t)r),dudt

Passo 3

Agora derivamos
u(t)=e^v(t), v(t)=sin^2t
A derivada de e^v é
dudt =e^v(t)cdot v'(t)
Como v(t)=sin^2t, sua derivada é
v'(t)=2sin tcos t
Portanto
dudt =e^sin^2tcdot 2sin tcos t

Passo 4

Substituindo tfracdudt em tfracdfdt, obtemos
dfdt =2sinl(e^sin^2tr)cosl(e^sin^2tr) ;times; e^sin^2tcdot 2sin tcos t
Juntando os fatores,
dfdt =4,e^sin^2t,sinl(e^sin^2tr), cosl(e^sin^2tr),sin tcos t

Resposta

f'(t) =4,e^sin^2t,sinl(e^sin^2tr), cosl(e^sin^2tr),sin tcos t

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