Calcule f^{\prime}(x) :
Calcule f^{\prime}(x) usando a regra da cadeia:
f(x)=e^{\cos ^{2}(\sqrt{x})}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x) = e^{\cos^2\bigl(\sqrt{x}\bigr)}.
O conteúdo principal é a regra da cadeia, pois temos uma composição de funções: a exponencial, o quadrado, o cosseno e a raiz quadrada.

Passo 2

Identificamos as camadas da composição:
  1. g(u) = e^u, com u = \cos^2(v).
  2. h(v) = \cos^2(v), com v = \sqrt{x}.
  3. k(x) = \sqrt{x}.
    Para usar a regra da cadeia, vamos derivar cada camada de fora para dentro.

Passo 3

Derivada da camada externa g(u) = e^u:
g'(u) = e^u.
Logo,
\frac{d}{dx}e^{\cos^2(\sqrt{x})} = e^{\cos^2(\sqrt{x})}\,\frac{d}{dx}\bigl(\cos^2(\sqrt{x})\bigr).

Passo 4

Derivada de h(v)=\cos^2(v). Usamos a regra da potência e depois a derivada do cosseno:
h'(v) = 2\cos(v)\cdot\bigl(-\sin(v)\bigr) = -2\cos(v)\,\sin(v).
Portanto,
\frac{d}{dx}\bigl(\cos^2(\sqrt{x})\bigr) = -2\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,\sin\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr).

Passo 5

Derivada de k(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}:
k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Substituindo em

Passo 6

\frac{d}{dx}\bigl(\cos^2(\sqrt{x})\bigr) = -2\cos(\sqrt{x})\,\sin(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\cos(\sqrt{x})\,\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}.

Passo 7

Agora unimos com

Passo 8

f'(x) = e^{\cos^2(\sqrt{x})}\times\biggl(-\frac{\cos(\sqrt{x})\,\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\biggr) = -\frac{e^{\cos^2(\sqrt{x})}\,\cos(\sqrt{x})\,\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{e^{\cos^2(\sqrt{x})}\,\cos(\sqrt{x})\,\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}.

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