Calcule F^prime(x) em que F(x) é igual a:
(a) xx^2+1
(b) x^2-1x+1
© 3 x^2+35 x-3
(d) raizxx+1
(e) 5 x+xx-1
(f) raizx+3x^3+2
(g) raiz[3]x+xraizx
(h) x+raiz[4]xx^2+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de oito funções diferentes. O conteúdo envolve derivadas de potências, raízes, soma de funções, regra do quociente e regra da cadeia. Vamos usar as derivadas básicas e as regras associadas para achar cada caso.

Passo 2

Relembrando as regras principais: a derivada de x^n é nx^n-1; de raizx=x^1/2 é tfrac12x^-1/2; de 1u(x) é -u'(x)/u(x)^2. A derivada da soma é a soma das derivadas e a regra do quociente para tfracfg é tfracf',g - f,g'g^2.

Passo 3

Para (a) F(x)=tfracxx^2+1, aplicamos quociente com f=x, g=x^2+1. Como f'=1 e g'=2x, obtemos F'(x)=tfrac1,(x^2+1)-x,2x(x^2+1)^2=tfrac1-x^2(x^2+1)^2. Para (b) F(x)=tfracx^2-1x+1, notamos que simplifica para x-1 (quando xneq-1), então F'(x)=1.

Passo 4

Na © F(x)=tfrac3x^2+35x-3, usamos quociente com f'=6x, g'=5, dando F'(x)=tfrac6x(5x-3)-(3x^2+3)5(5x-3)^2=tfrac3(5x^2-6x-5)(5x-3)^2. Na (d) F(x)=tfracraizxx+1, tomamos f'=1/(2raizx), g'=1 e obtemos F'(x)=tfrac(x+1)/(2raizx)-raizx(x+1)^2=tfrac1-x2raizx(x+1)^2.

Passo 5

Em (e) F(x)=5x+tfracxx-1, derivamos cada parcela: 5x vira 5 e x/(x-1) pela regra do quociente dá . Em (f) -1/(x-1)^2) Logo (F'(x)=5-tfrac1(x-1)^2, temos F(x)=raizx+tfrac3x^3+2 e . Então raizx'=tfrac12raizx.

Passo 6

Para (g) F(x)=tfracraiz[3]x+xraizx, reescrevemos como x^1/3-1/2+x^1-1/2=x^-1/6+x^1/2. Aplicando regra da potência: F'(x)=-tfrac16x^-7/6+tfrac12x^-1/2. Em (h) F(x)=tfracx+x^1/4x^2+3, aplicamos quociente com f'=1+tfrac14x^3/4 e g'=2x, obtendo F'(x)=tfrac(1+1/(4x^3/4))(x^2+3)-2x(x+x^1/4)(x^2+3)^2.

Resposta

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