Calcule
se
é uma função derivável, definida implicitamente pelas equações dadas abaixo: (1 pontos)
.
Passo 1
Neste exercício temos a função implícita definida por x² + x
y + x
sin
y = y
sin
y. O conteúdo é derivação implícita: vamos derivar os dois lados em relação a x, usando regra do produto e regra da cadeia, e depois isolar yʹ.
y + x
sin
y = y
sin
y. O conteúdo é derivação implícita: vamos derivar os dois lados em relação a x, usando regra do produto e regra da cadeia, e depois isolar yʹ.
Passo 2
Vamos derivar cada termo do lado esquerdo e do direito em relação a x. Lembrando que y = f(x) e yʹ = dy/dx.
Lado esquerdo: derivada de x² é 2x; de x
y usamos produto:
Lado esquerdo: derivada de x² é 2x; de x
y usamos produto:
de x
sin
y também produto e cadeia:
sin
y também produto e cadeia:
Lado direito: y
sin
y via produto e cadeia:
sin
y via produto e cadeia:
Passo 3
Reunindo tudo, obtemos:
Agora agrupamos os termos que têm yʹ de um lado e os demais termos do outro: yʹ·(x + x\cos y) - yʹ·(\sin y + y\cos y) = -2x - y - \sin y.
Passo 4
Isolando yʹ, ficamos com:
e portanto a resposta final é: