Calcule y^prime se y=f(x) é uma função derivável, definida implicitamente pelas equações dadas abaixo: (1 pontos)
x^2+x y+x sin y=y sin y.

Passo 1

Neste exercício temos a função implícita definida por x² + x
y + x
sin
y = y
sin
y. O conteúdo é derivação implícita: vamos derivar os dois lados em relação a x, usando regra do produto e regra da cadeia, e depois isolar yʹ.

Passo 2

Vamos derivar cada termo do lado esquerdo e do direito em relação a x. Lembrando que y = f(x) e yʹ = dy/dx.
Lado esquerdo: derivada de x² é 2x; de x
y usamos produto:
ddx(x,y)=x,yʹ+y;
de x
sin
y também produto e cadeia:
ddxl(xsin yr)=1cdotsin y + xcdotcos y,yʹ;
Lado direito: y
sin
y via produto e cadeia:
ddx(ysin y)=yʹsin y + ycos y,yʹ

Passo 3

Reunindo tudo, obtemos:
2x + (x,yʹ + y) + (sin y + xcos y,yʹ) = yʹsin y + ycos y,yʹ
Agora agrupamos os termos que têm yʹ de um lado e os demais termos do outro: yʹ·(x + x\cos y) - yʹ·(\sin y + y\cos y) = -2x - y - \sin y.

Passo 4

Isolando yʹ, ficamos com:
yʹ l(x + xcos y - sin y - ycos yr) = -2x - y - sin y,
e portanto a resposta final é: y' = -2x - y - sin yx + xcos y - sin y - ycos y

Resposta

y' = -2x - y - sin yx + xcos y - sin y - ycos y

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