Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função implícita definida por: y^2=x^2(x+2), no ponto (-12, 12 raiz32) (1 pontos)

Passo 1

O enunciado pede pra achar a reta tangente ao gráfico definido implicitamente por y^2=x^2(x+2) no ponto l(-tfrac12,tfrac12raiztfrac32r). Vamos usar derivação implícita e depois a fórmula ponto-inclinação de reta.

Passo 2

Precisamos aplicar a regra da cadeia em y^2 e a regra do produto em x^2(x+2). Derivando ambos os lados em relação a x temos:
ddx(y^2)=ddxl(x^2(x+2)r)

Passo 3

No lado esquerdo a regra da cadeia dá 2y,y'. No direito, expandindo primeiro x^2(x+2)=x^3+2x^2 e derivando obtemos 3x^2+4x. Assim:
2y,y'=3x^2+4x

Passo 4

Isolando y' (a derivada dy/dx):
y'=3x^2+4x2y

Passo 5

Agora avaliamos em x=-tfrac12 e y=tfrac12raiztfrac32=tfracraiz64. O numerador fica
3l(-tfrac12r)^2+4l(-tfrac12r)=3cdottfrac14 -2=tfrac34-2=-tfrac54
O denominador é
2cdottfracraiz64=tfracraiz62
Logo a inclinação é
$$m=y

Passo 6

\bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt6}{4}\bigr)=\frac{-\tfrac54}{\tfrac{\sqrt6}{2}}=-\frac{5}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt6}=-\frac{5}{2\sqrt6}=-\frac{5\sqrt6}{12}$$

Passo 7

Finalmente, a reta tangente em forma ponto-inclinação é:
y-raiz64=-5raiz612l(x+tfrac12r)

Resposta

y-\tfrac{\sqrt6}{4}=-\tfrac{5\sqrt6}{12}\Bigl(x+\tfrac12\Bigr)

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