Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função implícita definida por:
, no ponto
(1 pontos)
Passo 1
O enunciado pede pra achar a reta tangente ao gráfico definido implicitamente por
no ponto
. Vamos usar derivação implícita e depois a fórmula ponto-inclinação de reta.
Passo 2
Precisamos aplicar a regra da cadeia em
e a regra do produto em
. Derivando ambos os lados em relação a
temos:
Passo 3
No lado esquerdo a regra da cadeia dá
. No direito, expandindo primeiro
e derivando obtemos
. Assim:
Passo 4
Isolando
(a derivada
):
Passo 5
Agora avaliamos em
e
. O numerador fica
O denominador é
Logo a inclinação é
$$m=y
Passo 6
\bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt6}{4}\bigr)=\frac{-\tfrac54}{\tfrac{\sqrt6}{2}}=-\frac{5}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt6}=-\frac{5}{2\sqrt6}=-\frac{5\sqrt6}{12}$$
Passo 7
Finalmente, a reta tangente em forma ponto-inclinação é:
Resposta
y-\tfrac{\sqrt6}{4}=-\tfrac{5\sqrt6}{12}\Bigl(x+\tfrac12\Bigr)