Calcule
para a função
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a segunda derivada da função $ f(x) = x^{3} \sin\left(\frac{1}{x^{4}}\right) $ para $ x \neq 0 $. Para fazer isso, vamos usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada $ f’(x) $. A função é um produto de $ x^{3} $ e $ \sin\left(\frac{1}{x^{4}}\right) $, então aplicamos a regra do produto:
Calculando as derivadas individuais:
Substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $. Precisamos derivar $ f’(x) $ novamente. Vamos separar os termos:
Derivando cada parte separadamente.
Para o primeiro termo $ 3x^{2} \sin\left(\frac{1}{x^{4}}\right) $:
Usamos a regra do produto:
Já sabemos que:
Então:
Para o segundo termo $ -\frac{4}{x^{2}} \cos\left(\frac{1}{x^{4}}\right) $:
Também aplicamos a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter $ f’’(x) $:
Vamos simplificar:
Resposta
A segunda derivada é
Portanto, a opção correta é a última alternativa.