Calcule f^prime prime(x) para a função
f(x)=x^3 sen(1x^4) x neq 0
Escolha uma opção:
f^prime prime(x)=(6 x-16x^7) cos (1x^4)-4x^3 sen(1x^4) ; x neq 0
Nenhuma das demais alternativas
f^prime prime(x)=(6 x+16x^7) sen(1x^4)+4x^3 cos (1x^4) ; x neq 0
f^prime prime(x)=(6 x+16x^7) cos (1x^4)+4x^3 sen(1x^4) ; x neq 0
f^prime prime(x)=(6 x-16x^7) sen(1x^4)+4x^3 cos (1x^4) ; x neq 0
f^prime prime(x)=(6 x-16x^7) sen(1x^4)-4x^3 cos (1x^4) ; x neq 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a segunda derivada da função $ f(x) = x^{3} \sin\left(\frac{1}{x^{4}}\right) $ para $ x \neq 0 $. Para fazer isso, vamos usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada $ f’(x) $. A função é um produto de $ x^{3} $ e $ \sin\left(\frac{1}{x^{4}}\right) $, então aplicamos a regra do produto:
f'(x)
Calculando as derivadas individuais:
x^3
sin(1x^4)
Substituindo de volta:
f'(x) = ddx(x^3) sin(1x^4) + x^3 ddx(sin(1x^4))

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $. Precisamos derivar $ f’(x) $ novamente. Vamos separar os termos:
f''(x)
Derivando cada parte separadamente.
Para o primeiro termo $ 3x^{2} \sin\left(\frac{1}{x^{4}}\right) $:
Usamos a regra do produto:
f'(x)
Já sabemos que:
f'(x) = 3x^2 sin(1x^4) - 4x^2 cos(1x^4)
Então:
3x^2 sin(1x^4)
Para o segundo termo $ -\frac{4}{x^{2}} \cos\left(\frac{1}{x^{4}}\right) $:
Também aplicamos a regra do produto:
ddx(3x^2 sin(1x^4)) = 6x sin(1x^4) + 3x^2 cdot ddx(sin(1x^4))
Calculando as derivadas:
ddx(sin(1x^4)) = cos(1x^4) cdot (-4x^5) = -4x^5 cos(1x^4)
6x sin(1x^4) + 3x^2 (-4x^5 cos(1x^4)) = 6x sin(1x^4) - 12x^3 cos(1x^4)
Substituindo de volta:
-4x^2 cos(1x^4)

Passo 4

Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter $ f’’(x) $:
f''(x)
Vamos simplificar:
f''(x) = (6x sin(1x^4) - 12x^3 cos(1x^4)) + (-16x^7 sin(1x^4) + 8x^3 cos(1x^4))
f''(x) = (6x - 16x^7) sin(1x^4) + (-12x^3 + 8x^3) cos(1x^4)

Resposta

A segunda derivada é
f''(x)=(6 x-16x^7) sen(1x^4)-4x^3 cos (1x^4) ; x neq 0
Portanto, a opção correta é a última alternativa.

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