Determine todos os números complexos z tais que:
z^3=-8 i

Passo 1

O problema pede para encontrar todos os complexos z tais que z^3 = -8i. O conteúdo principal é radiciação de números complexos usando forma polar e o teorema de De Moivre. Para resolver, vamos representar -8i em forma exponencial e aplicar a fórmula das raízes cúbicas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos -8i em forma polar/exponencial. O módulo é lvert -8irvert = 8 e o argumento principal é theta = -tfracpi2. Assim, podemos escrever:
-8i = 8 ;e^il(-tfracpi2r)

Passo 3

Para extrair as raízes cúbicas de um número complexo ρe^iφ, usamos a fórmula geral:
zk = raiz[3]ρ;e^iφ + 2kpi3, k = 0,1,2
Aqui temos ρ=8 e φ=-tfracpi2.

Passo 4

O módulo de cada raiz é raiz[3]8 = 2. Logo
zk = 2;e^i-tfracpi2 + 2kpi3, k=0,1,2
Calculando para cada k:
Para k=0: o argumento é -tfracpi6, então
z0 = 2l(cos(-tfracpi6) + isin(-tfracpi6)r) = raiz3 - i
Para k=1: o argumento é -tfracpi6 + tfrac2pi3 = tfracpi2, então
z1 = 2l(cos(tfracpi2) + isin(tfracpi2)r) = 2i
Para k=2: o argumento é -tfracpi6 + tfrac4pi3 = tfrac7pi6, então
z2 = 2l(cos(tfrac7pi6) + isin(tfracpi6)r) = -raiz3 - i

Passo 5

Verificamos que as três raízes encontradas são distintas e satisfazem z^3 = -8i. Como uma equação cúbica tem exatamente três raízes complexas (contando multiplicidades), encerramos que não há outras soluções além dessas.

Resposta

As soluções são raiz3 - i, 2i e -raiz3 - i.

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