Determine todos os números complexos
tais que:
Passo 1
O problema pede para encontrar todos os complexos
tais que
. O conteúdo principal é radiciação de números complexos usando forma polar e o teorema de De Moivre. Para resolver, vamos representar
em forma exponencial e aplicar a fórmula das raízes cúbicas.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
em forma polar/exponencial. O módulo é
e o argumento principal é
. Assim, podemos escrever:
Passo 3
Para extrair as raízes cúbicas de um número complexo
, usamos a fórmula geral:
Aqui temos
e
.
Passo 4
O módulo de cada raiz é
. Logo
Calculando para cada
:
Para
: o argumento é
, então
Para
: o argumento é
, então
Para
: o argumento é
, então
Passo 5
Verificamos que as três raízes encontradas são distintas e satisfazem
. Como uma equação cúbica tem exatamente três raízes complexas (contando multiplicidades), encerramos que não há outras soluções além dessas.
Resposta
As soluções são
,
e
.