Decida quais dos seguintes campos, definidos em todo R^2, são conservativos:
F(x, y)=-y i+x j,

Passo 1

O enunciado pede pra decidir se o campo vetor vec F(x,y) = -y,vec i + x,vec j, definido em todo R^2, é conservativo. O conteúdo envolvido é teoria de campos conservativos em domínios simply connected, e vamos usar o critério que relaciona as derivadas parciais dos componentes do campo.

Passo 2

Em R^2 (que é simplesmente conexo), um campo vec F=(P,Q) é conservativo se, e somente se, as derivadas mistas se igualarem, isto é, se partial P/partial y = partial Q/partial x. Aqui temos P(x,y) = -y e Q(x,y) = x.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial y = partial(-y)partial y = -1,
partial Qpartial x = partial(x)partial x = 1

Passo 4

Como -1 neq 1, as derivadas não se igualam, logo o campo não satisfaz o critério de conservatividade.

Resposta

O campo vec F(x,y)= -y,vec i + x,vec j não é conservativo em R^2.

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