Para quais valores de n, n in N, o número complexo (1+i1-i)^n é real?

Passo 1

Resumo da questão: queremos determinar para quais valores de ninN o número complexo l((1+i)/(1-i)r)^n é real. O conteúdo envolve representação trigonométrica de números complexos e potenciação.

Passo 2

Simplificamos a base 1+i1-i. Como 1+i=raiz2e^ipi/4 e 1-i=raiz2e^-ipi/4, temos:
1+i1-i=raiz2e^ipi/4raiz2e^-ipi/4=e^ipi/2=i

Passo 3

Então a expressão original fica i^n. Sabendo que as potências de i são periódicas de período 4, temos o ciclo:
i^n= 1,&nequiv0pmod4 i,&nequiv1pmod4 -1,&nequiv2pmod4 -i,&nequiv3pmod4

Passo 4

Para que i^n seja real, ele deve ser 1 ou -1, o que acontece quando nequiv0pmod2, ou seja, quando n é par.

Resposta

Todos os números naturais pares, isto é, n=2k com kinN.

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