Calcule f^prime, f^prime prime e f^prime prime prime das funções abaixo.
f(x)=x^10+1x^3

Passo 1

O enunciado pede as três primeiras derivadas da função
f(x)=x^10+1x^3
O conteúdo que vamos usar é a regra do poder: para qualquer ninR,
ddxl(x^nr)=n,x^n-1,
e a linearidade da derivada (derivada de soma e constante em fator).

Passo 2

Vamos achar f'(x). Escrevendo 1x^3=x^-3, aplicamos a regra do poder a cada termo:
ddxl(x^10r)=10,x^9, ddxl(x^-3r)=-3,x^-4
Logo,
f'(x)=10,x^9 - 3,x^-4
ou, de forma equivalente,
f'(x)=10x^9 - 3x^4

Passo 3

Agora calculamos f''(x) derivando f'(x)=10x^9 -3x^-4. De novo a regra do poder:
ddxl(10x^9r)=10cdot9,x^8=90,x^8, ddxl(-3x^-4r)=-3cdot(-4),x^-5=12,x^-5
Portanto,
f''(x)=90,x^8 + 12,x^-5
ou
f''(x)=90x^8 + 12x^5

Passo 4

Por fim, calculamos f'''(x) derivando f''(x)=90x^8 +12x^-5:
ddxl(90x^8r)=90cdot8,x^7=720,x^7, ddxl(12x^-5r)=12cdot(-5),x^-6=-60,x^-6
Assim,
f'''(x)=720,x^7 - 60,x^-6
ou
f'''(x)=720x^7 - 60x^6

Resposta

f'(x)=10x^9 - 3x^4, f''(x)=90x^8 + 12x^5, f'''(x)=720x^7 - 60x^6

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