Verifique se a edo:
é exata, caso não seja, verifique se a equação possui um fator integrante que a torne exata. Em caso afirmativo, obtenha a sua solução.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante que a torne exata e então achar a solução geral. Aqui vamos usar o teste de exatidão clássico e, depois de não encontrar exatidão, buscar um fator integrante que dependa só de
.
Passo 2
Identificamos
Para testar exatidão, calculamos
Como
a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. A condição é que
seja função apenas de
. Calculando,
que depende só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos
Agora
e verificamos
logo a equação multiplicada é exata.
Passo 5
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando a primeira em
:
Derivando em
e igualando a
:
Então
Resposta
A equação não é exata, mas fica exata multiplicando por
. A solução implícita geral é