Verifique se a edo:
y d x+x(ln (x)+2 y e^y^2) d y
é exata, caso não seja, verifique se a equação possui um fator integrante que a torne exata. Em caso afirmativo, obtenha a sua solução.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y,dx + xl(ln(x)+2y,e^y^2r),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante que a torne exata e então achar a solução geral. Aqui vamos usar o teste de exatidão clássico e, depois de não encontrar exatidão, buscar um fator integrante que dependa só de x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y, N(x,y) = xl(ln(x)+2y,e^y^2r)
Para testar exatidão, calculamos
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = ln(x)+1 + 2y,e^y^2
Como
partial Mpartial y neq partial Npartial x,
a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x) que dependa só de x. A condição é que
partial Mpartial y-partial Npartial xN
seja função apenas de x. Calculando,
1 - l(ln(x)+1+2y,e^y^2r) xl(ln(x)+2y,e^y^2r) = -ln(x)-2y,e^y^2xl(ln(x)+2y,e^y^2r) = -1x,
que depende só de x. Logo
dmudx = -1x,mu Longrightarrow mu(x) = e^integral -1x,dx = x^-1

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-1. Obtemos
yx,dx + l(ln(x)+2y,e^y^2r),dy = 0
Agora
widetilde M(x,y) = yx, widetilde N(x,y) = ln(x)+2y,e^y^2,
e verificamos
partial widetilde Mpartial y = 1x, partial widetilde Npartial x = 1x,
logo a equação multiplicada é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = yx, partial Psipartial y = ln(x)+2y,e^y^2
Integrando a primeira em x:
Psi(x,y) = integral yx,dx = y,ln(x) + h(y)
Derivando em y e igualando a widetilde N:
partial Psipartial y = ln(x) + h'(y) overset!= ln(x)+2y,e^y^2 Longrightarrow h'(y)=2y,e^y^2 Longrightarrow h(y)=e^y^2
Então
Psi(x,y) = y,ln(x) + e^y^2 = C

Resposta

A equação não é exata, mas fica exata multiplicando por x^-1. A solução implícita geral é
y,ln(x) + e^y^2 = C

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