4.9 Exercício. Considere o ponto A=(3,4,-2) e a reta
r:l x=1+t y=2-t z=4+2 t
a) Encontre uma equação paramétrica para a reta s que passa por A e é ortogonal à reta r.
AL Natural
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b) Ache o ponto simétrico A^prime de A em relação à reta r.
c) Encontre uma equação paramétrica para o plano pi que passa por A e é ortogonal à reta r.
d) Ache o ponto simétrico B^prime de B=(4,1,-1) em relação ao plano pi.

Passo 1

O enunciado trabalha com geometria analítica no espaço: temos o ponto
cuja direção é o vetor que passa por e é perpendicular a ;
– (b) refletir em para obter ;
– (c) dar uma equação paramétrica do plano que passa por e é ortogonal a ;
– (d) refletir o ponto em para obter .

Passo 2

Escrevemos r em forma vetorial. Tomando o ponto base
P=(1,2,4), v=(1,-1,2),
temos
r:;X = P + t,v

Passo 3

Para definir a reta s perpendicular a r que passa em A, primeiro achamos o pé H da perpendicular de A em r via projeção de A-P sobre v:
A-P = (3,4,-2)-(1,2,4) = (2,2,-6), |v|^2 =1^2+(-1)^2+2^2=6,
(A-P)cdot v = 2cdot1 +2cdot(-1)+(-6)cdot2 = -12,
H = P + (A-P)cdot v|v|^2,v = (1,2,4) + -126,(1,-1,2) = (-1,4,0)

Passo 4

A reta s é a que passa por A e por H. Seu vetor direção é
H - A = (-1,4,0)-(3,4,-2)=(-4,0,2)
Logo, em forma paramétrica:
s: x = 3 - 4,lambda, y = 4, z = -2 + 2,lambda

Passo 5

O ponto simétrico A' de A em relação a r é a reflexão de A em H, dado por
A' = 2H - A = 2(-1,4,0) - (3,4,-2) = (-5,4,2)

Passo 6

O plano pi passa por A e é ortogonal a r, logo seu vetor normal é n=v=(1,-1,2). Para uma equação paramétrica, escolhemos dois vetores no plano, por ex.
u=(1,1,0), w=(0,2,1),
pois ambos satisfazem ucdot n=0 e wcdot n=0. Então
pi:;X = (3,4,-2) ;+; s,(1,1,0);+; t,(0,2,1)

Passo 7

Para achar o simétrico B' de B=(4,1,-1) em pi, usamos a fórmula da reflexão em plano:
B' = B ;-; 2,ncdot (B-A)|n|^2,n
Calculamos
B-A=(1,-3,1), ncdot(B-A)=1cdot1+(-1)cdot(-3)+2cdot1=6, |n|^2=6,
B'=(4,1,-1)-266(1,-1,2)=(4,1,-1)-2(1,-1,2)=(2,3,-5)

Resposta

(a) s:;x=3-4lambda,;y=4,;z=-2+2lambda
(b) A'=(-5,4,2)
(c) pi:;X=(3,4,-2)+s,(1,1,0)+t,(0,2,1)
(d) B'=(2,3,-5)

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