Encontrar uma primitiva F, da funçāo f(x)=x^2 / 2+x, que satisfaga F(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva F da função
f(x)=x^2/2+x
que satisfaz a condição F(1)=1.
O conteúdo aqui é integração de potência e soma de funções, e vamos usar as regras:
  1. Simplificar a expressão de f(x).
  2. Aplicar integral x^a,dx = x^a+1a+1+C (para aneq -1).
  3. Ajustar a constante de integração C para cumprir F(1)=1.

Passo 2

Simplificamos f(x). Como
x^2/2=x^1=x,
temos
f(x)=x+x=2x

Passo 3

Calcular uma primitiva de f(x)=2x. Usando
integral x,dx = x^22,
vem
F(x)=integral 2x,dx = 2cdotx^22+C = x^2 + C

Passo 4

Determinar C para que F(1)=1. Substituindo x=1:
F(1)=1^2 + C = 1 + C = 1 Longrightarrow C = 0

Resposta

F(x)=x^2

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