Determine a derivada da função. Apresente os cálculos para resolução.
y=x ln (2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y = x ln(2x+1). Vamos usar a regra do produto para funções e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar o logaritmo.

Passo 2

Definimos
u(x) = x, v(x) = ln(2x+1)
Pela regra do produto,
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Como u'(x)=1, o primeiro termo é
u'(x),v(x) = 1cdot ln(2x+1) = ln(2x+1)

Passo 3

Agora calculamos v'(x). Aplicando a regra da cadeia em
v(x)=ln(2x+1),
temos
v'(x)=12x+1cdotddx(2x+1)=12x+1cdot 2=22x+1

Passo 4

Substituindo em y':
y' = ln(2x+1) + xcdot22x+1
e, se quisermos, podemos escrever de forma combinada:
y' = ln(2x+1) + 2x2x+1

Resposta

y' = ln(2x+1) + 2x2x+1

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