Use qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Se algum teste que você escolher der inconclusivo, busque outro teste que funcione para a série:
sumn=1^infty arctg(n)n^2

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty arctg(n)n^2
Vamos usar o Teste da Comparação e, se necessário, o Teste da Comparação em Limite com a série p-série sum 1/n^2, que sabemos convergir (pois p=2>1).

Passo 2

Observamos que, para todo n>=1,
0<arctg(n)<pi2
Logo,
0<arctg(n)n^2<=pi/2n^2

Passo 3

Como a série
sumn=1^inftypi/2n^2=pi2sumn=1^infty1n^2
converge (é uma p-série com p=2), pelo Teste da Comparação a série dada converge também.

Resposta

A série sumn=1^inftyarctg(n)n^2 converge.

Exercícios relacionados